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→实空间中的拉普拉斯重整化群
网络的拉普拉斯粗粒化方法可概括如下。首先定义二值化拉普拉斯矩阵 <math>\zeta^{(0)}(\tau)</math>，其元素为：
网络的拉普拉斯粗粒化方法可概括如下。首先定义二值化拉普拉斯矩阵 <math>\zeta^{(0)}(\tau)</math>，其元素为：
<math>\zeta_{i_0j_0}^{(0)}(\tau) = \begin{cases} 1, & \text{若 } K_{i_0j_0}^{(0)}(\tau) \geq \min\left[K_{i_0i_0}^{(0)}(\tau), K_{j_0j_0}^{(0)}(\tau)\right];\\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases} \tag{8}</math>
<math>\zeta_{i_0j_0}^{(0)}(\tau) = \begin{cases} 1, & \text{若 } K_{i_0j_0}^{(0)}(\tau) \geq \min\left[K_{i_0i_0}^{(0)}(\tau), K_{j_0j_0}^{(0)}(\tau)\right];\\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases} \tag{8}</math>
需注意 <math>\zeta^{(0)}(\tau = 0)</math>是 <math>N_0 \times N_0</math>的单位矩阵，且对所有 <math>i_0, j_0</math>有 <math>\zeta_{i_0 j_0}^{(0)}(\tau \to \infty) = 1</math>。对固定的 <math>\tau^* > 0</math>，矩阵 <math>\zeta^{(0)}(\tau^*)</math>可视为原网络的超图的邻接矩阵，其包含 <math>N_1</math>个在尺度 <math>\tau^*</math>上通过扩散连接的连通分支。此过程将原来的 <math>N_0</math>个节点划分为 <math>N_1 < N_0</math>个超节点（图2a）。 <math>\tau^*</math>越大，连通分支数量越少且每个连通分支的规模越大。 <math>\tau^* \to \infty</math>意味着仅存在单一分支，也就是说，因均匀扩散场最终所有网络节点均连接在一起。基于方程(3)的粗粒化加权邻接矩阵 <math>W^{(1)}</math>可通过定义超节点间的加权超边来构造，其权重等于连接两对应细尺度簇的微边权重经适当归一化后的总和（图2b）。亦可采用统计物理粗粒化中的一致性裁剪方法获取二值邻接矩阵 <math>A^{(1)}</math>（例如通过方程(1)）。整个过程可迭代执行以定义更高层级 <math>\ell > 1</math>（图2c,d）。
需注意 <math>\zeta^{(0)}(\tau = 0)</math>是 <math>N_0 \times N_0</math>的单位矩阵，且对所有 <math>i_0, j_0</math>有 <math>\zeta_{i_0 j_0}^{(0)}(\tau \to \infty) = 1</math>。对固定的 <math>\tau^* > 0</math>，矩阵 <math>\zeta^{(0)}(\tau^*)</math>可视为原网络的超图的邻接矩阵，其包含 <math>N_1</math>个在尺度 <math>\tau^*</math>上通过扩散连接的连通分支。此过程将原来的 <math>N_0</math>个节点划分为 <math>N_1 < N_0</math>个超节点（图2a）。 <math>\tau^*</math>越大，连通分支数量越少且每个连通分支的规模越大。 <math>\tau^* \to \infty</math>意味着仅存在单一分支，也就是说，因均匀扩散场最终所有网络节点均连接在一起。基于方程(3)的粗粒化加权邻接矩阵 <math>W^{(1)}</math>可通过定义超节点间的加权超边来构造，其权重等于连接两对应细尺度簇的微边权重经适当归一化后的总和（图2b）。亦可采用统计物理粗粒化中的一致性裁剪方法获取二值邻接矩阵 <math>A^{(1)}</math>（例如通过方程(1)）。整个过程可迭代执行以定义更高层级 <math>\ell > 1</math>（图2c,d）。