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=== 实空间中的拉普拉斯重整化群 ===
=== 实空间中的拉普拉斯重整化群 ===
基于物理诠释，可利用 <math>K^{(0)}(\tau)</math>将原始网络( <math>\ell = 0</math>)的 <math>N_0</math>个节点在任意时刻 <math>\tau</math>下划分为 <math>N_1</math>个“扩散等效”的子图，继而粗粒化为超节点以定义下一层级( <math>\ell = 1</math>)网络。通过对微观小尺度连边关系的剪裁来确定超节点间重整化后的边(如公式(1)(3))。对于规则格点，固定 <math>\tau</math>就等价于固定空间尺度 <math>l</math>，此过程完全可以类比于Ising模型中的Kadanoff块自旋方法[118]。
基于物理诠释，可利用 <math>K^{(0)}(\tau)</math>将原始网络( <math>\ell = 0</math>)的 <math>N_0</math>个节点在任意时刻 <math>\tau</math>下划分为 <math>N_1</math>个“扩散等效”的子图，继而粗粒化为超节点以定义下一层级( <math>\ell = 1</math>)网络。通过对微观小尺度连边关系的剪裁来确定超节点间重整化后的边(如公式(1)(3))。对于规则格点，固定 <math>\tau</math>就等价于固定空间尺度 <math>l</math>，此过程完全可以类比于Ising模型中的Kadanoff块自旋方法<ref name="Kadanoff_scaling_1966">{{cite journal|author1=Kadanoff, L. P.|title=Scaling laws for Ising models near Tc|journal=Phys. Phys. Fiz.|year=1966|volume=2|url=}}</ref>。
网络的拉普拉斯粗粒化方法可概括如下。首先定义二值化拉普拉斯矩阵 <math>\zeta^{(0)}(\tau)</math>，其元素为：
网络的拉普拉斯粗粒化方法可概括如下。首先定义二值化拉普拉斯矩阵 <math>\zeta^{(0)}(\tau)</math>，其元素为：
图2 实空间中的拉普拉斯网络重整化方法的构造。 a. 底层 ( <math>\ell = 0</math>) 表示原始网络 <math>\mathcal{A}^{(0)}</math>（此处为 Barabási-Albert 网络，通过每次添加一个带 <math>m = 1</math> 条连接的节点演化而成，最终规模为 <math>N_0 = 24</math> 个节点），上层展示扩散时间尺度 <math>\tau^* = 1.96</math> 对应的划分 <math>\Omega_0</math>。不同颜色标识 <math>N_1</math> 个 Kadanoff 超节点。 b. 基于 <math>\Omega_0</math>，每个块被聚合为单个超节点 <math>i</math>（ <math>i = 1, \cdots, N_1</math>），保留与原节点连接的边，从而在下一层级 <math>\ell = 1</math> 构建粗粒化网络 <math>\mathcal{A}^{(1)}</math>。 c. 实空间拉普拉斯重整化群（LRG）过程的三个步骤。 d. 随机树的 LRG 粗粒化。图转载自文献[108]，遵循 CCBY 4.0 协议。
图2 实空间中的拉普拉斯网络重整化方法的构造。 a. 底层 ( <math>\ell = 0</math>) 表示原始网络 <math>\mathcal{A}^{(0)}</math>（此处为 Barabási-Albert 网络，通过每次添加一个带 <math>m = 1</math> 条连接的节点演化而成，最终规模为 <math>N_0 = 24</math> 个节点），上层展示扩散时间尺度 <math>\tau^* = 1.96</math> 对应的划分 <math>\Omega_0</math>。不同颜色标识 <math>N_1</math> 个 Kadanoff 超节点。 b. 基于 <math>\Omega_0</math>，每个块被聚合为单个超节点 <math>i</math>（ <math>i = 1, \cdots, N_1</math>），保留与原节点连接的边，从而在下一层级 <math>\ell = 1</math> 构建粗粒化网络 <math>\mathcal{A}^{(1)}</math>。 c. 实空间拉普拉斯重整化群（LRG）过程的三个步骤。 d. 随机树的 LRG 粗粒化。图转载自文献<ref name="Caldarelli_heterogeneous_2024">{{cite journal|author1=Caldarelli, G.|author2=Gabrielli, A.|author3=Gili, T.|author4=Villegas, P.|title=Laplacian renormalization group: an introduction to heterogeneous coarse-graining|journal=J. Stat. Mech.|year=2024|url=}}</ref>，遵循 CCBY 4.0 协议。
=== k-空间上的拉普拉斯重整化群 ===
=== k-空间上的拉普拉斯重整化群 ===