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=== k-空间上的拉普拉斯重整化群 ===

=== k-空间上的拉普拉斯重整化群 ===

该公式化过程能够与Wilson在连续场论中的重整化群方法直接类比[119]，可以显式地体现出其半群性质。它可视为实空间拉普拉斯重整化群在傅里叶空间的对应，其中傅里叶基由拉普拉斯特征向量给出，波模态由拉普拉斯特征值替代。在规则格点上，这些特征向量确实与平面波傅里叶基一致，其特征值简化为 <math>k^2</math>。

该公式化过程能够与Wilson在连续场论中的重整化群方法直接类比<ref name="Wilson_problems_1979">{{cite journal|author1=Wilson, K. G.|title=Problems in physics with many scales of length|journal=Sci. Am.|year=1979|volume=241|url=}}</ref>，可以显式地体现出其半群性质。它可视为实空间拉普拉斯重整化群在傅里叶空间的对应，其中傅里叶基由拉普拉斯特征向量给出，波模态由拉普拉斯特征值替代。在规则格点上，这些特征向量确实与平面波傅里叶基一致，其特征值简化为 <math>k^2</math>。

该方法为重整化过程提供更深刻的洞见，不仅允许网络粗粒化，还能恰当的重标度嵌入其中的统计动力学模型（如Ising模型或切触过程）以探测和研究特征（关联）尺度及可能的相变。由于 <math>L^{(0)}</math>与 <math>K^{(0)}(\tau)</math>是厄米算子（注：数学上通常称为自伴算子），我们采用量子力学“bra-ket”符号书写：

该方法为重整化过程提供更深刻的洞见，不仅允许网络粗粒化，还能恰当的重标度嵌入其中的统计动力学模型（如Ising模型或切触过程）以探测和研究特征（关联）尺度及可能的相变。由于 <math>L^{(0)}</math>与 <math>K^{(0)}(\tau)</math>是厄米算子（注：数学上通常称为自伴算子），我们采用量子力学“bra-ket”符号书写：

<math>L^{(0)} = \sum_{k=1}^{N_0} \lambda_k^{(0)} \left| \lambda_k^{(0)} \right\rangle \left\langle \lambda_k^{(0)} \right|.</math>

<math>L^{(0)} = \sum_{k=1}^{N_0} \lambda_k^{(0)} \left| \lambda_k^{(0)} \right\rangle \left\langle \lambda_k^{(0)} \right|.</math>

特征向量的完备性保证了粗粒化变量定义的合理性。后续步骤按Wilson范式[113]实现重整化程序：

特征向量的完备性保证了粗粒化变量定义的合理性。后续步骤按Wilson范式<ref name="Wilson_renormalization_1974">{{cite journal|author1=Wilson, K. G.|author2=Kogut, J.|title=The renormalization group and the $\epsilon$ expansion|journal=Phys. Rep.|year=1974|volume=12|url=}}</ref>实现重整化程序：

•      设定时间 <math>\tau^*</math>以确定新分辨率尺度（或低能截断）

•      设定时间 <math>\tau^*</math>以确定新分辨率尺度（或低能截断）

迭代这些步骤可生成聚合所有层级 <math>\ell > 1</math>的重整化拉普拉斯算子 <math>L^{(\ell)}</math>。该拉普拉斯重整化群的 <math>k</math>空间公式可与实空间解释互为补充（见附录）。

迭代这些步骤可生成聚合所有层级 <math>\ell > 1</math>的重整化拉普拉斯算子 <math>L^{(\ell)}</math>。该拉普拉斯重整化群的 <math>k</math>空间公式可与实空间解释互为补充（见附录）。

Ising 模型、接触过程以及大多数以规则格点上局部平移不变相互作用为特征的统计模型的统计场表述，都允许高斯近似，其核完全由拉普拉斯算子决定，该算子在格点上的拉普拉斯平面波基下的矩阵是对角的[120,121]。对于不规则网络上的相同模型[34,122,123]这一点仍然成立，唯一的区别是拉普拉斯算子不再具有平移不变性。这种高斯近似在所有情况下都是唯一精确可解的场论，非高斯相互作用通常需要通过围绕它的微扰法来研究。这是 Wilson 重整化群的关键点之一：傅里叶基是在精确可解的高斯近似下能使矩阵为对角矩阵的基，即这些状态是由线性无关且正交的变量的叠加决定。因此，当研究非高斯项的变换的细节时，尺度变换（缩放）在利用高斯近似的基坐标中以直接重参数化进行的。拉普拉斯重整化群能够将其视为统计模型的非局部和异质嵌入空间，从而将这种方法推广到不规则网络的情形。

Ising 模型、接触过程以及大多数以规则格点上局部平移不变相互作用为特征的统计模型的统计场表述，都允许高斯近似，其核完全由拉普拉斯算子决定，该算子在格点上的拉普拉斯平面波基下的矩阵是对角的<ref name="Hinrichsen_non-equilibrium_2000">{{cite journal|author1=Hinrichsen, H.|title=Non-equilibrium critical phenomena and phase transitions into absorbing states|journal=Adv. Phys.|year=2000|volume=49|url=}}</ref><ref name="Dornic_Langevin_2005">{{cite journal|author1=Dornic, I.|author2=Chaté, H.|author3=Muñoz, M. A.|title=Integration of Langevin equations with multiplicative noise and the viability of field theories for absorbing phase transitions|journal=Phys. Rev. Lett.|year=2005|volume=94|url=}}</ref>。对于不规则网络上的相同模型<ref name="Tuncer_Spectral_RG_Gaussian">{{cite journal|author1=Tuncer A|author2=Erzan A.|title=Spectral renormalization group for the Gaussian model and \$Psi\$4 theory on nonspatial networks|journal=Phys. Rev. E|year=2015|volume=92|url=}}</ref><ref name="Burioni_geometrical_1997">{{cite journal|author1=Burioni, R.|author2=Cassi, D.|title=Geometrical universality in vibrational dynamics|journal=Mod. Phys. Lett. B|year=1997|volume=11|url=}}</ref><ref name="Cassi_phase_1992">{{cite journal|author1=Cassi, D.|title=Phase transitions and random walks on graphs: a generalization of the Mermin--Wagner theorem to disordered lattices, fractals, and other discrete structures|journal=Phys. Rev. Lett.|year=1992|volume=68|url=}}</ref>这一点仍然成立，唯一的区别是拉普拉斯算子不再具有平移不变性。这种高斯近似在所有情况下都是唯一精确可解的场论，非高斯相互作用通常需要通过围绕它的微扰法来研究。这是 Wilson 重整化群的关键点之一：傅里叶基是在精确可解的高斯近似下能使矩阵为对角矩阵的基，即这些状态是由线性无关且正交的变量的叠加决定。因此，当研究非高斯项的变换的细节时，尺度变换（缩放）在利用高斯近似的基坐标中以直接重参数化进行的。拉普拉斯重整化群能够将其视为统计模型的非局部和异质嵌入空间，从而将这种方法推广到不规则网络的情形。

最后，网络单纯复形上的拉普拉斯算子的谱维数也有所研究[124,125]，并且拉普拉斯重整化群也可以推广到由单纯复形和高阶相互作用构建的网络中[126,127]（见附录）。

最后，网络单纯复形上的拉普拉斯算子的谱维数也有所研究<ref name="Reitz_higher-order_2020">{{cite journal|author1=Reitz, M.|author2=Bianconi, G.|title=The higher-order spectrum of simplicial complexes: a renormalization group approach|journal=J. Phys. A|year=2020|volume=53|url=}}</ref><ref name="Bianconi_spectral_2020">{{cite journal|author1=Bianconi, G.|author2=Dorogovstev, S. N.|title=The spectral dimension of simplicial complexes: a renormalization group theory|journal=J. Stat. Mech.|year=2020|url=}}</ref>，并且拉普拉斯重整化群也可以推广到由单纯复形和高阶相互作用构建的网络中<ref name="Nurisso_higher-order_2025">{{cite journal|author1=Nurisso, M.|author2=et al.|title=Higher-order Laplacian renormalization|journal=Nat. Phys.|year=2025|url=}}</ref><ref name="Cheng_simplex_2024">{{cite journal|author1=Cheng, A.|author2=Xu, Y.|author3=Sun, P.|author4=Tian, Y.|title=A simplex path integral and a simplex renormalization group for high-order interactions|journal=Rep. Prog. Phys.|year=2024|volume=87|url=}}</ref>（见附录）。

=== 扩散演化算子的统计物理学解释 ===

=== 扩散演化算子的统计物理学解释 ===