更改

=== 拓扑标度不变网络 ===

=== 拓扑标度不变网络 ===

当 <math>\omega(\lambda)-\lambda^v</math>时网络具有拓扑标度不变性，其中 <math>\omega(\lambda)</math>是拉普拉斯特征值密度， <math>y=d_S/2-1</math>和 <math>d_S</math>为拉普拉斯谱维度[133]（见附录）。此时熵敏感性与 <math>\tau</math>无关，保持恒定值 <math>C(\tau)=d_S/2</math> [35]。这种 <math>\tau</math>无关性会在规则格点或随机树中出现，也存在于更复杂网络如分层模块化网络[134]中。根据本节讨论的拉普拉斯重整化群的额定义，所有拓扑尺度不变网络在拉普拉斯尺度变换和粗粒化下保持相同拓扑结构[135]（另见[136]）。因此， <math>C(\tau)</math>可作为实际网络尺度不变性的探测器，若其为常数值则可直接用于度量谱维度。

当 <math>\omega(\lambda)-\lambda^v</math>时网络具有拓扑标度不变性，其中 <math>\omega(\lambda)</math>是拉普拉斯特征值密度， <math>y=d_S/2-1</math>和 <math>d_S</math>为拉普拉斯谱维度<ref name="Burioni_universal_1996">{{cite journal|author1=Burioni, R.|author2=Cassi, D.|title=Universal properties of spectral dimension|journal=Phys. Rev. Lett.|year=1996|volume=76|url=}}</ref>（见附录）。此时熵敏感性与 <math>\tau</math>无关，保持恒定值 <math>C(\tau)=d_S/2</math> <ref name="Villegas_Laplacian_RG">{{cite journal|author1=Villegas P|author2=Gili T|author3=Caldarelli G|author4=Gabrielli A.|title=Laplacian renormalization group for heterogeneous networks|journal=Nat. Phys.|year=2023|volume=19|url=}}</ref>。这种 <math>\tau</math>无关性会在规则格点或随机树中出现，也存在于更复杂网络如分层模块化网络<ref name="Moretti_Griffiths_2013">{{cite journal|author1=Moretti, P.|author2=Muñoz, M. A.|title=Griffiths phases and the stretching of criticality in brain networks|journal=Nat. Commun.|year=2013|volume=4|url=}}</ref>中。根据本节讨论的拉普拉斯重整化群的额定义，所有拓扑尺度不变网络在拉普拉斯尺度变换和粗粒化下保持相同拓扑结构<ref name="Poggialini_networks_2024">{{cite journal|author1=Poggialini, A.|author2=Villegas, P.|author3=Muñoz, M. A.|author4=Gabrielli, A.|title=Networks with many structural scales: a renormalization group perspective|journal=Phys. Rev. Lett.|year=2024|volume=134|url=}}</ref>（另见<ref name="Loures_Laplacian_2023">{{cite journal|author1=de C. Loures, M.|author2=Piovesana, A. A.|author3=Brum, J. A.|title=Laplacian coarse graining in complex networks|journal=Preprint at arXiv|year=2023|url=}}</ref>）。因此， <math>C(\tau)</math>可作为实际网络尺度不变性的探测器，若其为常数值则可直接用于度量谱维度。

== 多尺度网络的重整化 ==

== 多尺度网络的重整化 ==