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→生物体的生长方程——West方程
文章首先提出了一个基于能量守恒的基本方程，用来描述代谢能量在生物体内的分配：
文章首先提出了一个基于能量守恒的基本方程，用来描述代谢能量在生物体内的分配：
{{NumBlk|:|
<math>
B = \sum_{c}[N_c B_c + E_c \frac{dN_c}{dt}]
</math>
|{{EquationRef|9}}}}
* [math]B[/math] 是生物体在t时刻的平均静息代谢率。
* [math]B[/math] 是生物体在t时刻的平均静息代谢率。
* [math]N_c [/math] 是细胞总数。
* [math]N_c[/math] 是细胞总数。
* [math]B_c [/math] 是单个细胞的代谢率。
* [math]B_c[/math] 是单个细胞的代谢率。
* [math]E_c [/math] 是创造一个新细胞所需的代谢能量。
* [math]E_c[/math] 是创造一个新细胞所需的代谢能量。
* [math]N_c B_c [/math] 代表维持现有组织所需的能量。
* [math]N_c B_c[/math] 代表维持现有组织所需的能量。
* [math]E_c \frac{dN_c}{dt} [/math] 代表用于产生新细胞、即用于生长的能量。
* [math]E_c \frac{dN_c}{dt} [/math] 代表用于产生新细胞、即用于生长的能量。
这个方程的推导基于一个前提：生物体的代谢能量被分配用于维持现有组织和产生新组织（生长）。
这个方程的推导基于一个前提：生物体的代谢能量被分配用于维持现有组织和产生新组织（生长）。
=== 结合规模法则的生长方程 ===
=== 结合规模法则的生长方程 ===
文章进一步将上述能量守恒方程转化为质量增长的微分方程。因为总质量[math]m[/math]等于细胞总数[math]N_c[/math]乘以单个细胞的质量[math]mc[/math]（即[math]m = m_c N_c[/math]），所以方程可以重写为[math]\frac{dm}{dt} = (\frac{m_c}{E_c})B - (\frac{B_c}{E_c})m [/math]，这是描述质量增长率的基础方程。
[math]\frac{dm}{dt} = (\frac{m_c}{E_c})B - (\frac{B_c}{E_c})m [/math]
为了将这个方程与规模法则联系起来，作者引入了克莱伯定律（Kleiber's Law）的 3/4 幂律关系，即生物体的静息代谢率[math]B[/math]与其总质量[math]m[/math]遵循以下关系：[math]B = B_0 m^{3/4} [/math]，其中[math]B_0[/math]是一个常数。将[math]B = B_0 m^{3/4}[/math]代入质量增长方程，得到了一个关键的生长方程：
{{NumBlk|:|
<math>
\frac{dm}{dt} = am^{3/4} - bm
</math>
|{{EquationRef|10}}}}
[math]a[/math] 和 [math]b[/math] 是常数，其中 [math]a \equiv B_0 m_c / E_c [/math] 且 [math]b \equiv B_c / E_c [/math]。
[math]a[/math]和[math]b[/math] 是常数，其中[math]a \equiv B_0 m_c / E_c[/math]且[math]b \equiv B_c / E_c[/math]。
=== 解释渐近最大体型 (Determinate Growth) ===
=== 解释渐近最大体型 (Determinate Growth) ===
这个方程解释了为什么生物体具有确定的最大体型（determinate growth）。当增长率 [math]\frac{dm}{dt}=0 [/math] 时，生物体达到其渐近最大体型 M。从方程中可以看出：
这个方程解释了为什么生物体具有确定的最大体型（determinate growth）。当增长率[math]\frac{dm}{dt}=0[/math]时，生物体达到其渐近最大体型 M。从方程中可以看出：[math]0 = aM^{3/4} - bM [/math]，从而得到最大体型 M 的表达式：[math]M = (\frac{a}{b})^4 = (\frac{B_0 m_c}{B_c})^4 [/math]。这个结果表明，物种之间的最大体型差异主要由其细胞代谢率 [math]B_c [/math] 的系统性变化决定。
[math]0 = aM^{3/4} - bM [/math]
[math]M = (\frac{a}{b})^4 = (\frac{B_0 m_c}{B_c})^4 [/math]
=== 统一的、无参数的生长曲线 ===
=== 统一的、无参数的生长曲线 ===
通过将 [math]b=a/M^{1/4} [/math] 代回生长方程，文章得到了一个更具普遍性的形式：
通过将[math]b=a/M^{1/4}[/math]代回生长方程，文章得到了一个更具普遍性的形式：[math]\frac{dm}{dt} = am^{3/4}[1 - (\frac{m}{M})^{1/4}] [/math]。通过对这个微分方程进行积分，可以得到一个描述质量 m 随时间 t 变化的经典S形曲线方程：
[math]\frac{dm}{dt} = am^{3/4}[1 - (\frac{m}{M})^{1/4}] [/math]
{{NumBlk|:|
<math>
(\frac{m}{M})^{1/4} = 1 - [1 - (\frac{m_0}{M})^{1/4}]e^{-at/4M^{1/4}}
</math>
|{{EquationRef|11}}}}
[math]r \equiv (m/M)^{1/4} [/math]
其中，[math]m_0[/math]是出生时的质量。
这个方程可以被重新整理为一个无参数的普适曲线，通过将无量纲质量比[math]r[/math]和无量纲时间[math]\tau[/math]绘制在一起来展示：
[math]\tau \equiv at/4M^{1/4} - \ln[1 - (m_0/M)^{1/4}] [/math]
* 无量纲质量比：[math]r \equiv (m/M)^{1/4} [/math]
* 无量纲时间：[math]\tau \equiv at/4M^{1/4} - \ln[1 - (m_0/M)^{1/4}] [/math]
这个模型预测，所有物种的生长曲线，无论其分类群、细胞代谢率或成熟体型如何，都应该落在同一条普适曲线 [math]r=1-e^{-\tau} [/math] 上。这表明，尽管物种大小差异巨大，它们的生长过程在能量分配和时间尺度上具有普适的内在规律。
这个模型预测，所有物种的生长曲线，无论其分类群、细胞代谢率或成熟体型如何，都应该落在同一条普适曲线[math]r=1-e^{-\tau}[/math] 上。这表明，尽管物种大小差异巨大，它们的生长过程在能量分配和时间尺度上具有普适的内在规律。
== 城市生长方程 ==
== 城市生长方程 ==