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该方程中，[math]z[/math]为一个复数，[math]t[/math]代表迭代时间步，[math]c[/math]也是一个复数，它是一个不随迭代时间步而变的常数。对该方程的极限行为进行分类，即构成了[[朱利亚集合]]（Julia set）。朱利亚和法图也在朱利亚集中识别到了混沌行为，但由于当时没有计算机图形学，无人跟进，他们的研究因此停滞。关于复平面上映射所呈现的丰富动力学行为的研究随之衰落，直到 1970 年代末，[[伯努瓦·曼德博罗特（Benoit Mandelbrot）|曼德布罗特]](因其发现的[[曼德布罗特集]]及其他发明的[[分形]]一词而得名，这也是根据该复数迭代生成的一种集合）及其他人的出现，人们才注意到复平面上映射所展现的丰富动力学行为。

该方程中，[math]z[/math]为一个复数，[math]t[/math]代表迭代时间步，[math]c[/math]也是一个复数，它是一个不随迭代时间步而变的常数。对该方程的极限行为进行分类，即构成了[[朱利亚集合]]（Julia set）。朱利亚和法图也在朱利亚集中识别到了混沌行为，但由于当时没有计算机图形学，无人跟进，他们的研究因此停滞。关于复平面上映射所呈现的丰富动力学行为的研究随之衰落，直到 1970 年代末，[[伯努瓦·曼德博罗特（Benoit Mandelbrot）|曼德布罗特]](因其发现的[[曼德布罗特集]]及其他发明的[[分形]]一词而得名，这也是根据该复数迭代生成的一种集合）及其他人的出现，人们才注意到复平面上映射所展现的丰富动力学行为<ref name="Gleick">{{cite book |last=Gleick |first=James |title=Chaos: Making a New Science |year=1987 |publisher=Penguin Books |location=London |isbn=978-0-14-009250-9 }}</ref>。

1947 年，数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）和约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）写了一篇题为《随机过程和确定性过程的结合》（On combination of stochastic and deterministic processes）的短文，其中他们指出可以通过如下方程给出：

1947 年，数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）和约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）写了一篇题为《随机过程和确定性过程的结合》（On combination of stochastic and deterministic processes）的短文<ref name='neumann'>S. Ulam and J. von Neumann, “On Combination of Stochastic and Deterministic Processes,” Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 53, No. 11, 1947, p. 1120.</ref>，其中他们指出可以通过如下方程给出：

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他们指出，伪随机数可以通过对类似[math]f(x)[/math]的二次函数进行反复复合来生成。事实上，这个方程正是({{EquationNote|1}})式对应于参数[math]\mu=4[/math]时候的情形。在当时，“混沌”一词尚未被使用，但乌拉姆和冯·诺伊曼已经开始关注利用非线性函数生成复杂序列。在他们的报告中，乌拉姆和冯·诺伊曼还阐明，该映射与帐篷映射在拓扑上是共轭的，并且可以得出该映射序列的不变测度。

他们指出，伪随机数可以通过对类似[math]f(x)[/math]的二次函数进行反复复合来生成。事实上，这个方程正是({{EquationNote|1}})式对应于参数[math]\mu=4[/math]时候的情形。在当时，“混沌”一词尚未被使用，但乌拉姆和冯·诺伊曼已经开始关注利用非线性函数生成复杂序列。在他们的报告中，乌拉姆和冯·诺伊曼还阐明，该映射与帐篷映射在拓扑上是共轭的，并且可以得出该映射序列的不变测度。

自那以后，人们对具有任意参数的二次映射进行了更为详尽的研究。1958 年至 1963 年间，芬兰数学家 Pekka Mylberg 提出了：[math]f(x)=x^{2}-\lambda[/math]形式的迭代系统。这条研究路线对动力系统至关重要，Mühlberg 还研究了该映射的倍周期分岔级联，证明存在一个聚点(当[math]\lambda = 1.401155189\ldots[/math]时)。其他人的研究则进一步揭示了诸如逻辑映射等简单单变量差分方程的异常行为。

自那以后，人们对具有任意参数的二次映射进行了更为详尽的研究。1958 年至 1963 年间，芬兰数学家 Pekka Mylberg 提出了：[math]f(x)=x^{2}-\lambda[/math]形式的迭代系统。这条研究路线对动力系统至关重要，Mühlberg 还研究了该映射的倍周期分岔级联，证明存在一个聚点(当[math]\lambda = 1.401155189\ldots[/math]时)。其他人的研究则进一步揭示了诸如逻辑映射等简单单变量差分方程的异常行为<ref name='wikipedia'/>。

==Robert May的研究工作==

==Robert May的研究工作==