更改

图3右图展示了当<math>\mu</math>=3.5的时候，系统在4个值上下反复跳动的情况，这四个值为：0.87-->0.4-->0.82-->0.5。蓝色的轨迹和紫色的轨迹在初始略有不同，但是最终收敛到了一起。如果进一步增加<math>\mu</math>值，系统还会呈现出更多的周期，包括8周期、16周期……。

图3右图展示了当<math>\mu</math>=3.5的时候，系统在4个值上下反复跳动的情况，这四个值为：0.87-->0.4-->0.82-->0.5。蓝色的轨迹和紫色的轨迹在初始略有不同，但是最终收敛到了一起。如果进一步增加<math>\mu</math>值，系统还会呈现出更多的周期，包括8周期、16周期……。

===<math>μ=3.6</math>===

===<math>μ=3.56995</math>===

[[File:Mu05.png|400px|thumb|center|图5]]

[[File:Mu05.png|630px|thumb|right|图4 [math]\mu=3.56995[/math]时的动态轨迹]]

事实上，从<math>\mu</math>>3.54以后，系统震荡的周期就变得越来越长。

事实上，从<math>\mu>3.54</math>以后，系统震荡的周期就变得越来越长。

*当<math>μ</math>≈ 3.56995（在[https://en.wikipedia.org/wiki/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences OEIS]中的[https://oeis.org/A098587  A098587]）,出现混沌现象，在倍周期级联的末端。在所有的初始条件下，不再观察到有限周期内的振动。 随着时间的推移，初始种群数的微小变化会产生明显不同的结果，这是混沌的主要特征。

*当<math>\mu\approx 3.56995</math>（在[https://en.wikipedia.org/wiki/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences OEIS]中的[https://oeis.org/A098587  A098587]）,出现混沌现象，在倍周期级联的末端。在所有的初始条件下，不再观察到有限周期内的振动。 随着时间的推移，初始种群数的微小变化会产生明显不同的结果，这是混沌的主要特征。

*3.56995以上的<math>μ</math>值大多表现出混沌行为，但仍有一定的孤立范围表现出非混沌行为;这些岛屿有时被称为稳定岛。例如，从1 +√8(约3.82843)开始，<ref>{{cite journal|last=Zhang |first=Cheng |title=Period three begins |journal=Mathematics Magazine|volume=83 |date=October 2010 |pages=295–297 |doi=10.4169/002557010x521859}}</ref> 有一个参数<math>μ</math>的范围，在3个值之间显示<math>\mu</math>振荡，在6个值之间显示稍高的<math>\mu</math>振荡，然后在12个值之间显示稍高的<math>\mu</math>振荡，等等.

*3.56995以上的<math>\mu</math>值大多表现出混沌行为，但仍有一定的孤立范围表现出非混沌行为:这些岛屿有时被称为稳定岛。例如，从[math]1+\sqrt{8}\approx 3.82843[/math]开始，<ref>{{cite journal|last=Zhang |first=Cheng |title=Period three begins |journal=Mathematics Magazine|volume=83 |date=October 2010 |pages=295–297 |doi=10.4169/002557010x521859}}</ref> 有一个参数<math>\mu</math>的范围，在此范围内，[math]x(t)[/math]表现为在3个值之间振荡，在稍高的<math>\mu</math>取值上，[math]x(t)[/math]表现为在6个值之间振荡，然后在更高的<math>\mu</math>值上，[math]x(t)[/math]表现为12个值之间振荡，等等。

[[File:Mu06.png|400px|thumb|center|图6]]

[[File:Mu06.png|630px|thumb|right|图5 对于[math]\mu=3.56995[/math]时的一次较长的模拟结果]]

 

图6中所示为一次模拟试验运行了20000个周期，<math>x(t)</math>在这不同时刻的值在[0,1]区间上的累计分布图。图形中的平台部分表示取值概率基本为0。也就是说<math>x(t)</math>的取值基本集中在0.3~0.6和0.8~0.9这两个区间里。而往右上按照直线倾斜的部分表示<math>x(t)</math>在该区间近似呈现均匀分布。由此可见，这个时候迭代系统表现出随机性，然而整个迭代方程都是确定性的，因此认为产生了确定性的混沌。

===<math>3.6<μ<4</math>===

===<math>3.6<μ<4</math>===