更改

<math>

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(\frac{m}{M})^{\frac{1}{4}} = 1 - [1 - (\frac{m_0}{M})^{\frac{1}{4}}]e^{-\frac{at}{4M^{\frac{1}{4}}}}

(\frac{m}{M})^{\frac{1}{4}} = 1 - [1 - (\frac{m_0}{M})^{\frac{1}{4}}]e^{-\frac{at}{4M^{\frac{1}{4}}}}

</math>

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|{{EquationRef|11}}}}

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这个方程可以被重新整理为一个无参数的普适曲线，首先，我们需要定义两个无量纲量

这个方程可以被重新整理为一个无参数的普适曲线，首先，我们需要定义两个无量纲量

* 无量纲质量比：<math>r \equiv (m/M)^{1/4}</math>

* 无量纲质量比：<math>r \equiv (\frac{m}{M})^{\frac{1}{4}}</math>

* 无量纲时间：<math>\tau \equiv at/4M^{1/4} - \ln[1 - (m_0/M)^{1/4}]</math>

* 无量纲时间：<math>\tau \equiv at/4M^{\frac{1}{4}} - \ln[1 - (\frac{m_0}{M})^{\frac{1}{4}}]</math>

将这两个无量纲量带入[[韦斯特生长方程]]({{EquationNote|10}})，可以得到所有物种统一的普适生长方程(Universal Growth Equation)：

将这两个无量纲量带入[[韦斯特生长方程]]({{EquationNote|10}})，可以得到所有物种统一的普适生长方程(Universal Growth Equation)：

[[文件:通用的生物生长曲线.png|无框|600x600像素]]<ref name=":2" />

[[文件:通用的生物生长曲线.png|无框|600x600像素]]<ref name=":2" />

<small>上图展示了通用的生长曲线。它绘制了无量纲质量比 [math]r = (\frac{m}{M})^{1/4}  [/math] 与无量纲时间变量 [math]\tau = \frac{at}{4M^{1/4}} - \frac{1}{2} \ln[(\frac{m_0}{M})^{1/4}]  [/math] 的关系，涵盖了多种受限生长（determinate）和不受限生长（indeterminate）物种。当以这种方式绘制时，我们的模型预测所有生物的生长曲线都应该落在同一条没有参数的通用曲线  [math]r = 1-e^{-\tau}  [/math] 上（图中用实线表示）。该模型将 r 解释为用于维持生命和其他活动的'''代谢总功率'''的比例。</small>

<small>上图展示了通用的生长曲线。它绘制了无量纲质量比 [math]r = (\frac{m}{M})^{\frac{1}{4}}  [/math] 与无量纲时间变量 [math]\tau = \frac{at}{4M^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{2} \ln[(\frac{m_0}{M})^{\frac{1}{4}}]  [/math] 的关系，涵盖了多种受限生长（determinate）和不受限生长（indeterminate）物种。当以这种方式绘制时，我们的模型预测所有生物的生长曲线都应该落在同一条没有参数的通用曲线  [math]r = 1-e^{-\tau}  [/math] 上（图中用实线表示）。该模型将 r 解释为用于维持生命和其他活动的'''代谢总功率'''的比例。</small>

== 城市生长方程 ==

== 城市生长方程 ==