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→冗余晶格
从现在起，我们将用括号内的表达式（仅包含每个源右下角的数字）来表示A(R)中的元素，这些元素对应于源的集合。例如，{{R1，R2}}将为{12}，{{R1}，{R2，R3}}将为{1}{23}。
从现在起，我们将用括号内的表达式（仅包含每个源右下角的数字）来表示A(R)中的元素，这些元素对应于源的集合。例如，{{R1，R2}}将为{12}，{{R1}，{R2，R3}}将为{1}{23}。
通过将相同推理过程进行延伸，我们可以定义A(R)元素间的偏序关系。考虑两个源集合Q和 A（R），对于A（R）中每个源B在Q中都存在一个源A，且A是B的子集。这意味着对于每个源B，都存在一个源A，使得A提供的信息量不超过B。因此，所有B共享的冗余信息至少包含所有A共享的冗余信息。由此，我们可以在A(R)元素间定义一个偏序关系（即一种排序）：当且仅当后一集合提供额外冗余信息时，才认为一个元素（源集合）优先于另一个。将此排序应用于A(R)的元素时，将产生一个冗余格，其中较高的元素提供至少与较低的元素一样多的冗余信息。
通过将相同推理过程进行延伸，我们可以定义A(R)元素间的偏序关系。考虑两个源集合Q和 A（R），对于A（R）中每个源B在Q中都存在一个源A，且A是B的子集。这意味着对于每个源B，都存在一个源A，使得A提供的信息量不超过B。因此，所有B共享的冗余信息至少包含所有A共享的冗余信息。由此，我们可以在A(R)元素间定义一个偏序关系（即一种排序）：当且仅当后一集合提供额外冗余信息时，才认为一个元素（源集合）优先于另一个。将此排序应用于A(R)的元素时，将产生一个冗余格，其中较高的元素提供至少与较低的元素一样多的冗余信息。
有了结构和偏序关系，我们需要对函数进行约束。此时我们说一下自由度的问题（只多了一个自由度），所以只需要一个新定义，这篇文章选了最底下的格子——冗余信息。定义1（PID冗余格）。对于源变量集合S，反链集合定义为：
[[文件:674776478.png|缩略图]]
\mathcal{A}(S)=\{\alpha\in\mathcal{P}_1(\mathcal{P}_1(S)):\forall A_i,A_j\in\alpha,A_i\nsubseteq A_j\},
其中\mathcal{P}_1(S)=\mathcal{P}(S)\backslash\{\emptyset\}是S的所有非空子集的集合，对于每个\alpha,\beta\in\mathcal{A}(S)，我们说\beta\preceq_S\alpha如果对于每个A\in\alpha存在B\in\beta使得B\subseteq A。
为了方便表达，我们使用只包含相应源变量索引的括号表达式来表示\mathcal{A}(S)的元素。例如，将\{\{S_1,S_2\}\}写作\{12\}，\{\{S_1\}\{S_2\}\}写作\{1\}\{2\}，\{\{S_1\}\}写作\{1\}。
基于定义1，系统的PID可以表示为可为系统中每个源变量子集的所有格节点分配值的函数集合，其定义如下：
定义2（部分信息分解框架）。设S为源集合，T为目标。PID-单元集合定义为一组部分信息函数（PI-函数）\Pi^T_A:\mathcal{A}(A)\rightarrow\mathbb{R}对于所有A\subseteq S。为简单起见，我们在上下文清楚的地方省略了\Pi的下标。
直观上，对于每个\alpha\in\mathcal{A}(A)，单元\Pi^T_A(\alpha)测量了反链\alpha到T的每个集合提供的信息量，而这些信息量不是由任何子集\beta\preceq_A\alpha提供的。为简单起见，我们用\Pi^T_{\{S_1,\ldots\}}(\cdot)表示\Pi^T_{\{S_1,\ldots\}}(\{\{1\}\})，例如，\Pi^T_{12}(\{1\})=\Pi^T_{\{S_1,S_2\}}(\{\{S_1\}\})。注意在S=\{S_1,S_2\}，\text{Red},\text{Syn},\text{Un}减化为：
\text{Red}(S_1,S_2\rightarrow T)=\Pi^T_{12}(\{\{1\}\}\{2\}\}),\text{Un}(S_1\rightarrow T|S_2)=\Pi^T_{12}(\{\{1\}\}),
\text{Syn}(S_1,S_2\rightarrow T)=\Pi^T_{12}(\{\{12\}\}),\text{Un}(S_2\rightarrow T|S_1)=\Pi^T_{12}(\{\{2\}\}),[[文件:674776478.png|缩略图]]
[[文件:24234234224.png|缩略图|三源变量冗余格]]
[[文件:24234234224.png|缩略图|三源变量冗余格]]