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→特征函数与特征值
<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>
<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>
这组三元组<math>{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}j)}{j=1}^\infty</math>称为Koopman模式分解，由Mezić于2005年提出<ref>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>。通常，可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。Koopman模态分解后来通过DMD（动态模态分解）方法与数据驱动的回归建立了联系，这将在第3节中详细讨论。DMD的特征值将近似Koopman特征值<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>，而DMD的模态幅值将近似初始状态下相应Koopman特征函数的值<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。
这组三元组<math>\{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}j)\}{j=1}^\infty</math>称为'''Koopman模式分解'''，由Mezić于2005年提出<ref>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>。通常，可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。Koopman模态分解后来通过DMD（动态模态分解）方法与数据驱动的回归建立了联系，这将在第3节中详细讨论。DMD的特征值将近似Koopman特征值<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>，而DMD的模态幅值将近似初始状态下相应Koopman特征函数的值<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。
需要注意的是，Koopman模态和特征函数是不同的数学对象，其近似方法也不相同。Koopman特征函数通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。
需要注意的是，Koopman模态和特征函数是不同的数学对象，其近似方法也不相同。Koopman特征函数通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。