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可以根据特征函数的定义{{EquationNote|1}}证明<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>是特征函数，<math>e^{i\omega}</math>是特征值。特别地，当<math> \omega=0</math>时，<math> \tilde{g}_0(\mathbf{x})</math>是特征值为1所对应的特征函数。证明如下：

可以根据特征函数的定义{{EquationNote|1}}证明<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>是特征函数，<math>e^{i\omega}</math>是特征值。特别地，当<math> \omega=0</math>时，<math> \tilde{g}_0(\mathbf{x})</math>是特征值为1所对应的特征函数。证明如下：

由于 <math> (\mathcal{K}^t g)(\mathbf{x}) = g(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})) </math>，我们有：

由于 <math> (\mathcal{K}^t g)(\mathbf{x}) = g(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})) </math>，我们有：

<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^t(\mathbf{F}^s(\mathbf{x}))) e^{-i\omega t} dt \\ &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^{t+s}(\mathbf{x})) e^{-i\omega t} dt \\ \end{aligned} </math>

<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^t(\mathbf{F}^s(\mathbf{x}))) e^{-i\omega t} dt \\ &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^{t+s}(\mathbf{x})) e^{-i\omega t} dt \\ \end{aligned} </math>

令 <math> \tau = t + s \Rightarrow t = \tau - s </math>，则：

令 <math> \tau = t + s \Rightarrow t = \tau - s </math>，则：