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→冗余晶格
进一步，对任意源<math>\mathbf{C}</math>，有<math>I_{\min}(S;\{\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}\})
进一步，对任意源<math>\mathbf{C}</math>，有<math>I_{\min}(S;\{\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}\})
=I_{\min}(S;\{\mathbf{A},\mathbf{C}\})</math>。
=I_{\min}(S;\{\mathbf{A},\mathbf{C}\})</math>。
推广之，对于任何源集合，若其中某些源是其他源的超集（即这个源包含其他源），则该集合的冗余等价于去掉所有超集后的冗余。因此，<math>I_{\min}</math>的定义域可简化为无源是其他源的超集的那些集合。即：
\begin{equation}
\begin{equation}
\mathcal{A}(\mathbf{R})=
\mathcal{A}(\mathbf{R})=
其中 <math>\mathcal{P}_{1}(\mathbf{R})=\mathcal{P}(\mathbf{R})\setminus\{\emptyset\}</math>为<math>\mathbf{R}</math>的所有非空子集的集合。
其中 <math>\mathcal{P}_{1}(\mathbf{R})=\mathcal{P}(\mathbf{R})\setminus\{\emptyset\}</math>为<math>\mathbf{R}</math>的所有非空子集的集合。
此后，我们将用带括号的索引简记<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，例如：
此后，我们将用带括号的索引简记<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，例如：
<math>{R_{1},R_{2}}</math>to<math>{12}</math>
通过将上述思路进一步延伸，可在<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素上定义一个偏序<math>\preccurlyeq</math>。
通过将上述思路进一步延伸，可在<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素上定义一个偏序<math>\preccurlyeq</math>。
考虑两个源集合 <math>\alpha,\beta\in\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>，若对每个源
考虑两个源集合 <math>\alpha,\beta\in\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>，若对每个源
\mathbf{A}\subseteq\mathbf{B}.
\mathbf{A}\subseteq\mathbf{B}.
\end{equation}
\end{equation}
将此偏序应用于<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，便得到冗余格（redundancy lattice），其中较高元素提供的冗余信息不少于较低元素有了结构和偏序关系，我们需要对函数进行约束。此时我们说一下自由度的问题（只多了一个自由度），所以只需要一个新定义，这篇文章选了最底下的格子——冗余信息。
将此偏序应用于<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，便得到冗余格（redundancy lattice），其中较高元素提供的冗余信息不少于较低元素有了结构和偏序关系。
在两源变量的维恩图里我们可以观察到：
基于定义 1，一个系统的 PID 可表示为一组函数，用于为系统中源变量的每个子集在格的每个节点上赋值，具体如下。
设 <math>S</math>为源的集合，<math>T</math>为目标。PI-原子集合定义为一族部分信息函数（PI-function）
\[
\Pi_{\mathcal{A}}:\mathcal{A}(\mathcal{A})\to\mathbb{R},\quad\forall \mathcal{A}\subseteq S.
\]
为简洁，在上下文明确时省略<math> \Pi </math>的下标。
直观上，对每一个<math> \alpha\in\mathcal{A}(\mathcal{A})</math>，原子<math> \Pi_{\mathcal{A}}(\alpha)</math>度量的是反链<math> \alpha</math>中每个集合向<math> T</math>提供、且不被任何 <math>\beta\preccurlyeq\alpha</math> 提供的的信息量。为简便记 <math>\Pi(\cdot) </math>代替 <math>\Pi_{S_{1},\dots,S_{n}}(\cdot)</math>，例如
\[
\Pi_{12}(\{[1]\})=\Pi_{\{S_{1},S_{2}\}}(\{\{S_{1}\}\}).
\]
特别地，当 <math>S=\{S_{1},S_{2}\}</math> 时，定义 2 退化为
\begin{align*}
\mathrm{Red}(S_{1},S_{2}\to T) &=\Pi_{12}([1][2]),\\[2mm]
\mathrm{Un}(S_{1}\to T\mid S_{2})&=\Pi_{12}([1]),\\[2mm]
\mathrm{Syn}(S_{1},S_{2}\to T)&=\Pi_{12}([12]),\\[2mm]
\mathrm{Un}(S_{2}\to T\mid S_{1})&=\Pi_{12}([2]).
\end{align*}
\end{definition}
我们需要对函数进行约束。此时我们说一下自由度的问题（只多了一个自由度），所以只需要一个新定义，这篇文章选了最底下的格子——冗余信息。
\textbf{定义 1}（PID 冗余格）。对于源变量集合 \( S \)，其反链集合为：
\textbf{定义 1}（PID 冗余格）。对于源变量集合 \( S \)，其反链集合为：
\[
\[