更改

<math>

<math>

\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} μ & 0 & 0 \\ 0 & λ & -λ \\ 0 & 0 & 2μ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}  

\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} μ & 0 & 0 \\ 0 & λ & -λ \\ 0 & 0 & 2μ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}  

</math>

</math> ，  其中<math> \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_1^2  \end{bmatrix} </math>

 

其中

<math>

\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_1^2  \end{bmatrix}  

</math>

 

（原文提及：完整的三维Koopman可观测量向量空间在图2.3中可视化。）

（原文提及：完整的三维Koopman可观测量向量空间在图2.3中可视化。）

Koopman算子的左特征向量可以产生Koopman本征函数。 对应于特征值μ和 λ的Koopman本征函数为：

Koopman算子的左特征向量可以产生Koopman本征函数。 对应于特征值μ和 λ的Koopman本征函数为：

<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math>

<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math> 和 <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>， 其中 <math>\displaystyle{ b = \frac {\lambda} {\lambda-2μ} }</math>  

和

<math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>

通过这种方式，可以从Koopman算子在不变子空间上的矩阵表示的左特征向量所定义的可观测量函数中，确定出一组本征坐标。明确地说：

通过这种方式，可以从Koopman算子在不变子空间上的矩阵表示的左特征向量所定义的可观测量函数中，确定出一组本征坐标。明确地说：

<math>\displaystyle{ \varphi_α(x) } = \boldsymbol{\xi}^\top_αz(x)  

<math>\displaystyle{ \varphi_α(x) } = \boldsymbol{\xi}^\top_αz(x)  

  </math>

  </math>，  其中 <math> \boldsymbol{\xi}^\top_α(K) = α \boldsymbol{\xi}^\top_α </math>

其中

<math>

\boldsymbol{\xi}^\top_α(K) = α \boldsymbol{\xi}^\top_α

</math>

这些本征可观测量定义了在Koopman算子下保持不变的可观测量子空间，即使在坐标变换后也是如此。因此，它们可以被视为Koopman不变子空间上的本征坐标<ref name=TWilliams_2015>

这些本征可观测量定义了在Koopman算子下保持不变的可观测量子空间，即使在坐标变换后也是如此。因此，它们可以被视为Koopman不变子空间上的本征坐标<ref name=TWilliams_2015>

M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015),pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</ref>[448]。

M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015),pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</ref>[448]。

=数据驱动算法=

=数据驱动算法=