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多变量信息熵，引出互信息
多变量信息熵，引出互信息
==== 公理化定义 ====
对于一个离散随机变量 $X$,它有 $n$ 种可能取值 $\{x_1,x_2,...,x_n\}$
每个可能取值对应的概率相应为 $\{p_1,p_2,...,p_n\}$。度量其不确定程度的函数$H(X)$应满足以下三条公理
1. 连续性：即概率的微小变化只会引起不确定度的微小变化,即：$H(p_1,p_2,\dots,p_n)$关于$p_i$连续
2. 可加性:若一个随机试验可分解为多个连续的随机试验，那么原来的不确定性应是各阶段不确定性之和
3. 等概率时单调递增：离散型随机变量所有结果的概率相等时，即$p_i = \frac{1}{n}$,则$H$应是$n$的单调递增函数。
通过以上三条公理可确定**唯一形式的**$H(X)$为,其中$K$为任意常数
$$
H(X) = - K\sum_{i=1}^{n}p_i\log p_i
$$
这种公理化的思路也在PID框架的构建中得到了应用。
=== 互信息 ===
=== 互信息 ===