更改

其中<math>\|\mathbf{ · }\|_2</math>表示向量的标准欧几里得范数。

其中<math>\|\mathbf{ · }\|_2</math>表示向量的标准欧几里得范数。

实际计算中无法直接上式的积分，因此通过 “积分规则”（以<math>\displaystyle{ \{x_j\}_{j=1}^M }</math>为节点、<math>\boldsymbol{y}^{(j)} = F(\boldsymbol{x}^{(j)}) \quad </math>（<math>1 \leq j \leq M  </math>，M为初始条件数量），<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重）近似积分，将上式转化为加权最小二乘问题：

实际计算中无法直接上式的积分，因此通过 “积分规则”（以<math>\displaystyle{ \{x_j\}_{j=1}^M }</math>为节点、<math>\boldsymbol{y}^{(j)} = F(\boldsymbol{x}^{(j)}) \quad </math>，<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重，<math>M  </math>为初始条件数量）近似积分，将上式转化为加权最小二乘问题：

<math>\arg\min_{B\in\mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \sum_{j=1}^{M} w_j \|\Psi(y^{(j)}) - \Psi(x^{(j)})B\|_{\ell_2}^2</math>

<math>\arg\min_{B\in\mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \sum_{j=1}^{M} w_j \|\Psi(y^{(j)}) - \Psi(x^{(j)})B\|_{\ell_2}^2</math>

<math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math>

<math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math>

故对于<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对 <math>(\lambda, g) </math>（<math>（\lambda \in \mathbb{C} </math>是候选特征值，<math>g = \Psi \boldsymbol{g} \in V_{N_K}</math>是基于字典的候选特征函数），残差定义为：

故对于<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对 <math>(\lambda, g) </math>（<math>\lambda \in \mathbb{C} </math>是候选特征值，<math>g = \Psi \boldsymbol{g} \in V_{N_K}</math>是基于字典的候选特征函数），残差定义为：

<math>\text{res}(\lambda, g)^2 = \frac{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k \left[ (\Psi_Y^* W \Psi_Y)_{jk} - \lambda (\Psi_Y^* W \Psi_X)_{jk} - \overline{\lambda} (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} + |\lambda|^2 (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk} \right]}{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk}}. \tag{4.6}</math>

<math>\text{res}(\lambda, g)^2 = \frac{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k \left[ (\Psi_Y^* W \Psi_Y)_{jk} - \lambda (\Psi_Y^* W \Psi_X)_{jk} - \overline{\lambda} (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} + |\lambda|^2 (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk} \right]}{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk}}</math>

===算法===

===算法===