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</math>  

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其中<math> (y_1, y_2, y_3) = (x_1, x_2, x_1^2)</math>。如下图所示，我们可以画出在这个三维空间中系统动力学的[[流形]]，也就是动力学曲线会在哪些平面上运动。首先，由于观测量本身的定义，我们有约束 <math> \ y_3 = y_1^2 </math>，在图中由蓝色曲面表示。在空间中有三条黑色轨迹，代表动力系统从三个不同起点出发的轨迹，它们始终都会在蓝色曲面上运动。因为<math>λ\ll μ<0</math>，所以<math> y_2 </math>的收敛速度会远快于<math> y_1 </math>，于是有一个吸引流形<math> y_2=y_1^2 </math>，这在图中表示为红色的曲面（与<math> y_3 </math>平行，在下方平面上的投影是二次函数曲线）。红色曲面与蓝色曲面相交的曲线（亮蓝色曲线）便位于<math> y_2=y_3 </math>这个曲面上。这条交线上的每一点都代表<math> x_2 </math>达到了平衡，即它的导数为0。绿色曲面则是接近<math> y_2=y_3 </math>曲面的慢流形，因为它是由μ和2μ两个绝对值很小的特征值对应的特征向量张成的子空间。它与蓝色曲线交于[[稳定不动点]]（0，0）。当轨迹从起点出发，会因为红色吸引流形的作用快速靠近红色与蓝色曲面的交界处。达到交界处后，由于绿色曲面的吸引作用，再缓慢地靠近最终的稳定不动点（0，0）。下图还展示了动力学在 <math>y_1-y_2</math> 平面上的投影。

其中<math> (y_1, y_2, y_3) = (x_1, x_2, x_1^2)</math>。如下图所示，我们可以画出在这个三维空间中系统动力学的[[流形]]，也就是动力学曲线会在哪些平面上运动。首先，由于观测量本身的定义，我们有约束 <math> \ y_3 = y_1^2 </math>，在图中由蓝色曲面表示。在空间中有三条黑色轨迹，代表动力系统从三个不同起点出发的轨迹，它们始终都会在蓝色曲面上运动。因为<math>λ\ll μ<0</math>，所以<math> y_2 </math>的收敛速度会远快于<math> y_1 </math>，于是有一个吸引流形<math> y_2=y_1^2 </math>，这在图中表示为红色的曲面（与<math> y_3 </math>平行，在下方平面上的投影是二次函数曲线）。红色曲面与蓝色曲面相交的曲线（亮蓝色曲线）便位于<math> y_2=y_3 </math>这个曲面上。这条交线上的每一点都代表<math> x_2 </math>达到了平衡，即它的导数为0。绿色曲面则是接近<math> y_2=y_3 </math>曲面的慢流形，因为它是由μ和2μ两个绝对值很小的特征值对应的特征向量张成的子空间。它与蓝色曲线交于[[稳定不动点]]（0，0）。当轨迹从起点出发，会因为红色吸引流形的作用快速靠近红色与蓝色曲面的交界处。达到交界处后，由于绿色曲面的吸引作用，再缓慢地靠近最终的稳定不动点（0，0）。总结一下整个动力学过程：出发时轨迹就始终位于蓝色曲面上，然后快速靠近红色曲面到达交线，然后再缓慢趋向于绿色曲面（也就是到达不动点的位置）。下图还展示了动力学在 <math>y_1-y_2</math> 平面上的投影。

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以上内容展示了系统在全局线性化之后的动力学分析过程。Koopman算子便是在合适的观测函数下，将任意的非线性系统做全局线性化的变换，而且变换后的线性系统的性质与原系统的动力学性质是一致的，两个系统是[[拓扑共轭]]的关系<ref name=lan_2013>Lan, Y., & Mezić, I. (2013). Linearization in the large of nonlinear systems and Koopman operator spectrum. Physica D: Nonlinear Phenomena, 242(1), 42–53. https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.08.017</ref>。于是我们可以依据前文提及的特征函数计算方法来提取和分析Koopman矩阵的特征函数。通过计算Koopman矩阵的左特征向量之后，我们找到对应于特征值μ和λ的Koopman特征函数为：

以上内容展示了系统在全局线性化之后的动力学分析过程。Koopman算子便是在合适的观测函数下，将任意的非线性系统做全局线性化的变换，而且变换后的线性系统的性质与原系统的动力学性质是一致的，两个系统是[[拓扑共轭]]的关系<ref name=lan_2013>Lan, Y., & Mezić, I. (2013). Linearization in the large of nonlinear systems and Koopman operator spectrum. Physica D: Nonlinear Phenomena, 242(1), 42–53. https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.08.017</ref>。我们可以依据前文提及的特征函数计算方法来提取和分析Koopman矩阵的特征函数。通过计算Koopman矩阵的左特征向量之后，我们找到对应于特征值μ和λ的Koopman特征函数为：

<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math>  和  <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>，  

<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math>  和  <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>，