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<math> dx(t) = f(x(t)) dt + \sigma(x(t)) dW(t)，\quad x(0) = x_0 \in X  </math>

<math> dx(t) = f(x(t)) dt + \sigma(x(t)) dW(t)，\quad x(0) = x_0 \in X  </math>

其中 <math> W(t) </math>是维纳过程（Wiener process，白噪声），<math>  \sigma(x(t)) </math>是噪声强度矩阵。

其中 <math> W(t) </math>是[[维纳过程]]（Wiener process，白噪声），<math>  \sigma(x(t)) </math>是噪声强度矩阵。

随机 Koopman 算子 <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}}：\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为期望算子<ref name="brunton_2022" /><ref>N. C\v  rnjaric\'-Z\v ic, S. Mac\'es\v ic\', and I. Mezi\'c, Koopman operator spectrum for random dynamical systems, J. Nonlinear Sci., 30 (2020), pp. 2007--2056, <nowiki>https://doi.org/10.1007/s00332019-09582-z</nowiki></ref>：

随机 Koopman 算子 <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}}：\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为期望算子<ref name="brunton_2022" /><ref>N. C\v  rnjaric\'-Z\v ic, S. Mac\'es\v ic\', and I. Mezi\'c, Koopman operator spectrum for random dynamical systems, J. Nonlinear Sci., 30 (2020), pp. 2007--2056, <nowiki>https://doi.org/10.1007/s00332019-09582-z</nowiki></ref>：

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率；<math> σ(x) </math>为噪声贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵迹（对角线元素之和），<math> \nabla^2 </math>是 <math> g </math>的 Hessian 矩阵（二阶偏导数矩阵）。

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率；<math> σ(x) </math>为噪声贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵迹（对角线元素之和），<math> \nabla^2 </math>是 <math> g </math>的 Hessian 矩阵（二阶偏导数矩阵）。

噪声项通过 Hessian 矩阵影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献；当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子；随机 Koopman 算子的特征值可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），特征函数可刻画系统的 “平均线性化” 演化。

噪声项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献；当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子；随机 Koopman 算子的特征值可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），特征函数可刻画系统的 “平均线性化” 演化。

== 算子性质 ==

== 算子性质 ==