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→数据驱动算法
==时间延迟坐标==
==时间延迟坐标==
DMD和eDMD算法基于全状态测量的可用性，而这些测量通常维数很高。然而，通常情况下只能获得[[系统]]的部分观测值，因此存在隐藏变量或潜在变量。在这种情况下，可以使用[[系统]]的时间延迟测量值来构建增强状态向量，从而产生一个形成Koopman不变子空间的内在坐标系。将时间延迟坐标用作Koopman坐标系依赖于满足Takens嵌入定理的条件，使得延迟嵌入[[吸引子]]与原始全状态坐标中的[[吸引子]]微分同胚。
DMD和eDMD算法基于全状态测量的可用性，而这些测量通常维数很高。然而，通常情况下只能获得[[系统]]的部分观测值，即存在隐藏变量或潜在变量。在这种情况下，可以使用[[系统]]的时间延迟测量值来构建新的观测量，从而构建一个Koopman不变子空间。将时间延迟坐标用作Koopman坐标系依赖于满足[[Takens嵌入定理]]的条件<ref name=takens_1981>F. Takens, Detecting strange attractors in turbulence, in Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Math. 898, Springer, 1981, pp. 366--381.</ref>，这样才能使得延迟嵌入[[吸引子]]与原始全状态坐标中的[[吸引子]][[微分同胚]]。如此构建出来的观测空间中，描述系统演化的线性矩阵便是Hankel矩阵<ref name=brunton_2017>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, E. Kaiser, and J. N. Kutz, Chaos as an intermittently forced linear system, Nature Commun., 8 (2017), pp. 1--9. (Cited on pp. 257, 275, 284, 287, 288, 289, 294)</ref>。
[[文件:Hankel lorenz.png|无框|左]]
[[文件:Hankel lorenz.png|410x410px|替代=]]
时间延迟测量方案示意图如上图所示，以[[Lorenz系统]]为例，展示了将混沌分解为带有外力的线性系统。在这个例子中，我们有来自原始三态Lorenz系统的单个标量测量信号<math>x(t)</math>。可以从该标量测量的时间序列构造一个Hankel矩阵<math>\mathbf{H}</math>：
<math>
<math>
\mathbf{H} = \begin{bmatrix} x(t_1) & x(t_2) & \cdots & x(t_p) \\ x(t_2) & x(t_3) & \cdots & x(t_{p+1}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x(t_q) & x(t_{q+1}) & \cdots & x(t_m) \end{bmatrix}.
\mathbf{H} = \begin{bmatrix} x(t_1) & x(t_2) & \cdots & x(t_p) \\ x(t_2) & x(t_3) & \cdots & x(t_{p+1}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x(t_q) & x(t_{q+1}) & \cdots & x(t_m) \end{bmatrix}.
</math>
</math>
<math>\mathbf{H}</math> 的每一列都可以通过将前一列在时间上向前推进一步来获得。因此，我们可以用 Koopman 算子 <math>\mathcal{K}</math> 重写上式：
<math>
\mathbf{H} = \begin{bmatrix} x(t_1) & \mathcal{K}x(t_1) & \cdots & \mathcal{K}^{p-1}x(t_1) \\ \mathcal{K}x(t_1) & \mathcal{K}^2x(t_1) & \cdots & \mathcal{K}^{p}x(t_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathcal{K}^{q-1}x(t_1) & \mathcal{K}^{q}x(t_1) & \cdots & \mathcal{K}^{m-1}x(t_1) \end{bmatrix}.
</math>
对于足够的数据量，系统将收敛到一个[[吸引子]]，使得 <math>\mathbf{H}</math> 的列变得近似线性相关。在这种情况下，可以通过计算 <math>\mathbf{H}</math> 的[[SVD]]来获得一个 Koopman不变子空间：
<math>
\mathbf{H} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*.
</math>
来自[[SVD]]的<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>的列分别按其对 <math>\mathbf{H}</math> 的列和行建模的重要性逐次排列。根据定义，动力学将吸引子映射到自身，使其对[[流映射]]不变。通常，<math>\mathbf{H}</math> 允许用 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>r</math> 列进行低秩近似，因此这些列近似了一个 Koopman 不变子空间。因此，Hankel矩阵的列可以很好地由 <math>\mathbf{U}</math> 的前 <math>r</math> 列来近似。<math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>r</math> 列则描述了降维后的时间延迟空间中系统状态的随时间的演化轨迹。所以，通过绘制 <math>\mathbf{V}</math> 的前三列，我们重新获得了Lorenz系统的吸引子，如图中右上角所示。
在延迟坐标 <math>\mathbf{v}</math> 上，我们可以得到一个最佳拟合线性回归模型。一个很直接的做法是，我们可以对由 <math>\mathbf{H}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的两个矩阵进行DMD估计。在实践中，学者建议对由 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的类似矩阵进行DMD估计，因为这样我们便可以在一个降维的特征空间中拟合系统的演化。下面是关于 <math>\mathbf{V}</math> 中变量的线性回归模型，
<math>
\frac{d}{dt}\mathbf{v}(t) = \mathbf{A}\mathbf{v}(t).
</math>
Champion, Brunton 和 Kutz等人表明<ref name=champion_2019>K. P. Champion, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Discovery of nonlinear multiscale systems: Sampling strategies and embeddings, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 18 (2019), pp. 312--333, https://doi.org/10.1137/18M1188227. (Cited on pp. 288, 289)</ref>，该线性系统捕捉了弱非线性系统的动力学。然而，对于混沌系统，即使有近似Koopman不变的测量系统，在识别封闭的线性模型方面仍存在挑战。无论多么高维的线性模型，都无法捕捉多个不动点或具有正[[Lyapunov指数]]的混沌所特有的不可预测行为<ref>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>。与其为 <math>\mathbf{V}</math> 中的前 <math>r</math> 个变量构建一个封闭的线性模型，不如在前 <math>r-1</math> 个变量上构建一个线性模型，并将最后一个变量 <math>v_r</math> 强加为一个外力项<ref name=brunton_2017 />：
<math>
\frac{d}{dt}\mathbf{v}(t) = \mathbf{A}\mathbf{v}(t) + \mathbf{B}v_r(t),
</math>
其中 <math>\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_{r-1} \end{bmatrix}^T</math> 是前 <math>r-1</math> 个特征时间延迟坐标的向量。在所有探索的混沌示例中<ref name=brunton_2017 />，前<math>r-1</math> 项的线性模型是准确的，而没有线性模型能表示 <math>v_r</math>。相反，<math>v_r</math> 应该是线性动力学的外来输入。罕见的强迫事件对应于混沌动力学中的波瓣切换。这种架构被称为 Koopman 的 Hankel 替代视图 (HAVOK) 分析，源自 [^61^]。图片经 Brunton 等人 [^61^] 许可修改。<math>v_r(t)</math> 的统计数据是非高斯的，具有长尾，对应于驱动 Lorenz 系统中波瓣切换的罕见事件强迫；这与其他学者观察和建模的罕见事件强迫分布有关 [^263,^373,^264^]。
=与其他算子的关系=
=与其他算子的关系=