842
个编辑
更改
→时间延迟坐标
其中 <math>\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_{r-1} \end{bmatrix}^T</math> 是前 <math>r-1</math> 个特征时间延迟坐标的向量。在所有探索的混沌示例中<ref name=brunton_2017 />，前<math>r-1</math> 项的线性模型是准确的，而没有线性模型能表示 <math>v_r</math>。相反，<math>v_r</math> 应该是线性动力学的外来输入。罕见的强迫事件对应于混沌动力学中的波瓣切换。这种架构被称为 Koopman 的 Hankel 替代视图 (HAVOK) 分析，源自 [^61^]。图片经 Brunton 等人 [^61^] 许可修改。<math>v_r(t)</math> 的统计数据是非高斯的，具有长尾，对应于驱动 Lorenz 系统中波瓣切换的罕见事件强迫；这与其他学者观察和建模的罕见事件强迫分布有关 [^263,^373,^264^]。
其中 <math>\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_{r-1} \end{bmatrix}^T</math> 是前 <math>r-1</math> 个特征时间延迟坐标的向量。在所有探索的混沌示例中<ref name=brunton_2017 />，前<math>r-1</math> 项的线性模型是准确的，而没有线性模型能表示 <math>v_r</math>。相反，<math>v_r</math> 应该是线性动力学的外来输入。罕见的强迫事件对应于混沌动力学中的波瓣切换。这种架构被称为 Koopman 的 Hankel 替代视图 (HAVOK) 分析，源自 [^61^]。图片经 Brunton 等人 [^61^] 许可修改。<math>v_r(t)</math> 的统计数据是非高斯的，具有长尾，对应于驱动 Lorenz 系统中波瓣切换的罕见事件强迫；这与其他学者观察和建模的罕见事件强迫分布有关 [^263,^373,^264^]。
Hankel 矩阵在系统辨识中已使用了几十年，例如在 ERA [^188^] 和奇异谱分析 (SSA) [^56^] 中。这些早期算法是专门为线性系统开发的，尽管它们常被应用于弱非线性系统，但当时尚不清楚如何解释由这些方法产生的模型和分解。现代 Koopman 算子理论为在非线性系统中解释这些经典的基于 Hankel 方法的结果提供了一个有价值的新视角。在 Hankel 矩阵上计算 DMD 的做法最早由 Tu 等人 [^435^] 提出，并由 B. Brunton 等人 [^60^] 用于神经科学领域。Hankel 矩阵与 Koopman 算子之间的联系，以及 <math>(5.19)</math> 中的线性回归模型，由 Brunton 等人 [^61^] 在 Koopman 的 Hankel 替代视图（HAVOK）框架中建立。随后的一些工作为该方法提供了附加的理论基础 [^16,^94,^198,^79,^171^]。Hirsh 等人 [^171^] 建立了 HAVOK 与微分几何中的 Frenet–Serret 标架之间的联系，从而推动了一种更精确的计算建模方法。HAVOK 方法也常被称为延迟 DMD [^435^] 或 Hankel-DMD [^16^]。延迟嵌入与 Koopman 算子之间的联系最早在 2004 年由 Mezić 和 Banaszuk [^294^] 建立，在其中定义了随机 Koopman 算子并证明了统计 Takens 定理。其他工作则研究了将动力学拆分为确定性线性与混沌随机动力学 [^290^]。在具有长期记忆效应的系统中，使用延迟坐标可能尤其重要，而 Koopman 方法最近已被证明是此类系统中一种成功的分析工具 [^417^]。
=与其他算子的关系=
=与其他算子的关系=