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→企业的死亡
== 企业的死亡 ==
== 企业的死亡 ==
企业也遵循了与生物体非常类似的规律。
根据Daepp等人在2015年发表的研究，企业的“死亡”定义为企业从数据库中的消失。这包括了多种情况，其中最常见的是通过并购（mergers and acquisitions）而消失，而不是清算（liquidation）。论文通过对超过25,000家北美上市企业的综合数据库进行详细的生存分析，发现企业的死亡率（或称“风险率”）在很长一段时间内大致保持恒定，与企业的年龄无关。
论文推导的出发点是一个简单的衰变过程模型，该模型假设死亡数量与现有企业数量成正比。
在一个非常小的离散时间间隔 [math]\Delta t[/math] 内，死亡的公司数量 [math]\Delta N_d(t,T)[/math] 与在时间 t 仍存活的公司数量 [math]N(t,T)[/math] 成正比，比例系数为风险率 [math]\lambda(t,T)[/math]：
===死亡微分方程===
在一个非常小的离散时间间隔 [math]\Delta t[/math]内，死亡的企业数量 [math]\Delta N_d(t,T)[/math] 与在时间t内仍存活的企业数量 [math]N(t,T)[/math] 成正比，比例系数为风险率 [math]\lambda(t,T)[/math]：
[math]\Delta N_{d}(t,T)=\lambda(t,T)N(t,T)\Delta t[/math]
[math]\Delta N_{d}(t,T)=\lambda(t,T)N(t,T)\Delta t[/math]
[math]\frac{\partial N(t,T)}{\partial t}=-\lambda(t,T)N(t,T)[/math]
[math]\frac{\partial N(t,T)}{\partial t}=-\lambda(t,T)N(t,T)[/math]
其中 [math]N(t,T)[/math] 是在观察时间窗口 T 内，在时间 t 仍存活的公司数量。
其中 [math]N(t,T)[/math] 是在观察时间窗口 T 内，在时间 t 仍存活的企业数量。
===指数分布解===
当假设风险率 [math]\lambda[/math] 是一个常数时，上述微分方程的解为经典的指数形式：
当假设风险率 [math]\lambda[/math] 是一个常数时，上述微分方程的解为经典的指数形式：
[math]N(t,T)=N(0,T)e^{-\lambda(T)t}[/math]
[math]N(t,T)=N(0,T)e^{-\lambda(T)t}[/math]
这个方程表明，一个企业存活到时间 t 的概率随着时间呈指数衰减。论文的实证分析表明，指数分布能很好地拟合数据。
===修正的指数分布与半衰期===
由于数据是在一个有限的观察窗口 T 内获取的，为了解决边界条件问题（即在窗口结束时，所有公司都被视为死亡），论文引入了一个修正项，得到了一个修正的指数分布函数：
由于数据是在一个有限的观察窗口 T 内获取的，为了解决边界条件问题（即在窗口结束时，所有企业都被视为死亡），论文引入了一个修正项，得到了一个修正的指数分布函数：
<nowiki>[math]N(t,T)=N(0,T)e^{-\lambda t}[\frac{1-e^{-\lambda(T-t)}}{1-e^{-\lambda T}}][/math]</nowiki>
:<math>
N(t,T)=N(0,T)e^{-\lambda t}[\frac{1-e^{-\lambda(T-t)}}{1-e^{-\lambda T}}]
</math>
当观察窗口 T 远大于公司年龄 t 时，这个方程可以近似为常规的指数公式。基于这个模型，论文计算了公司的半衰期（[math]t_{1/2}[/math]），即一半的公司死亡所需的时间。通过求解 [math]M(t_{1/2}) = 1/2[/math]，可以得到半衰期的公式：
当观察窗口 T 远大于企业年龄 t 时，这个方程可以近似为常规的指数公式。基于这个模型，论文计算了企业的半衰期（[math]t_{1/2}[/math]），即一半的企业死亡所需的时间。通过求解 [math]M(t_{1/2}) = 1/2[/math]，可以得到半衰期的公式：
:<math>
t_{1/2}(T)=\frac{ln~2}{\lambda}[1-\frac{ln(1+e^{-\lambda T})}{ln~2}]
</math>
美国上市企业的平均寿命约为10.2年，而半衰期约为8.6年。这意味着大约9年以后，就会有一半的企业“死亡”。下图显示，中国企业的死亡率随着年龄的增长呈曲线变化。例如，在30岁时，死亡率仅为[math]1.4 \%[/math]。类比生物学： 这种将死亡率视为年龄(t)函数[math]\lambda(t)[/math]的方法，以及观察到的年龄依赖性趋势，与生物学中研究物种寿命与年龄关系的建模思路是类似的。企业生长方程目前无法预测企业的死亡，但可猜想企业规模越大，平均寿命越长，死亡率越低。
美国上市企业的平均寿命约为10.2年，而半衰期约为8.6年。这意味着大约9年以后，就会有一半的企业“死亡”。下图显示，中国企业的死亡率随着年龄的增长呈曲线变化。例如，在30岁时，死亡率仅为[math]1.4 \%[/math]。类比生物学： 这种将死亡率视为年龄(t)函数[math]\lambda(t)[/math]的方法，以及观察到的年龄依赖性趋势，与生物学中研究物种寿命与年龄关系的建模思路是类似的。企业生长方程目前无法预测企业的死亡，但可猜想企业规模越大，平均寿命越长，死亡率越低。