更改

<math>\mu \rho + \operatorname{div}(\rho \mathbf{f}) = 0,</math>   

<math>\mu \rho + \operatorname{div}(\rho \mathbf{f}) = 0,</math>   

只要PF算子特征值<math>\lambda = e^\mu \in \mathbb{C}/\{0\}</math> 成立。Koopman和PF算子的不变特征函数已被用于提取动力系统状态空间中的不变集。在这些算子互为对偶的函数空间中，两个算子的特征函数理论上包含相同的信息。然而，在现实中，这种选择可能是基于实际约束做出的。例如，通过Koopman特征函数对不变集的近似依赖于长时间的轨迹，而Ulam对PF的近似通常需要定义域内密集采样的短时轨迹<ref>M. Budis\v i\'c and I. Mezic\', Geometry of the ergodic quotient reveals coherent structures in flows, Phys. D, 241 (2012), pp. 1255--1269, https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.04.006. (Cited on pp. 231, 232, 237, 244, 267, 272, 279)</ref>。

只要PF算子特征值<math>\lambda = e^\mu \in \mathbb{C}/\{0\}</math> 成立。Koopman和PF算子的不变特征函数已被用于提取动力系统状态空间中的不变集。在这些算子互为对偶的函数空间中，两个算子的特征函数理论上包含相同的信息。然而，在实践中，我们需要基于实际约束做出合适的选择。例如，通过Koopman特征函数对不变集的近似依赖于长时间的轨迹，而Ulam对PF的近似通常需要定义域内密集采样的短时轨迹<ref>M. Budis\v i\'c and I. Mezic\', Geometry of the ergodic quotient reveals coherent structures in flows, Phys. D, 241 (2012), pp. 1255--1269, https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.04.006. (Cited on pp. 231, 232, 237, 244, 267, 272, 279)</ref>。

==Lie算子==

==Lie算子==