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|keywords=Koopman算子,观测函数,动力学模式分解

|keywords=Koopman算子,观测函数,动力学模式分解

|description=本文系统综述了Koopman理论及其应用。}}

|description=本文系统综述了Koopman理论及其应用。}}

[[Koopman理论]]是一种将[[非线性动力系统]]用线性算子来分析的方法。它提出，虽然原始[[系统]]可能是非线性的，但可以通过Koopman算子作用在观测函数空间，使得[[系统]]在这个更高维的空间中变得线性。这样，使用线性分析工具（如谱分析、[[特征分解]]）就能研究[[复杂]]的非线性动态行为，大大拓展了对[[非线性系统]]的理解和建模能力。该理论广泛应用于流体力学、[[混沌]][[系统]]和数据驱动建模等领域。

[[Koopman算子理论]]是一种将[[非线性动力系统]]用线性算子来分析的方法。它提出，虽然原始[[系统]]可能是非线性的，但可以通过Koopman算子作用在观测函数空间，使得[[系统]]在这个更高维的空间中变得线性。如此得到的线性动力系统与原系统是拓扑等价的，即它们有着相同的动力学性质。这样，使用线性分析工具（如谱分析、[[特征分解]]、[[模式分解]]）就能研究[[复杂]]的非线性动态行为，对其可以有更好的预测和解释，大大拓展了我们对[[非线性系统]]的理解和建模能力。该理论广泛应用于流体力学、[[混沌]][[系统]]和数据驱动建模等领域。

=历史溯源=

=历史溯源=

==时间离散==

==时间离散==

离散时间场景适用于状态演化由离散映射描述的系统，如采样数据系统、迭代过程、数字控制中的离散时间模型等，是实际工程中数据驱动建模的常用场景。 设离散时间自治动力系统的状态演化满足：  

离散时间场景适用于状态演化由离散映射描述的系统，如采样数据系统、迭代过程、数字控制中的离散时间模型等，是实际工程中数据驱动建模的常用场景。 设离散时间自治动力系统的状态演化满足：  

==时间连续==

==时间连续==

连续时间场景适用于状态演化由[[常微分方程（ODE）]]或[[偏微分方程（PDE）]]描述的系统，如连续运动的机械系统、流体流动等。  

连续时间场景适用于状态演化由[[常微分方程（ODE）]]或[[偏微分方程（PDE）]]描述的系统，如连续运动的机械系统、流体流动等。  

== 随机动力系统 ==

== 随机动力系统 ==

实际系统常受随机噪声、参数扰动或外部不确定性影响，此时需将 Koopman 算子扩展到[[随机动力系统]]（RDS，Random Dynamical System），核心是通过 “期望” 将随机演化转化为确定性算子作用。

实际系统常受随机噪声、参数扰动或外部不确定性影响，此时需将 Koopman 算子扩展到[[随机动力系统]]（RDS，Random Dynamical System），核心是通过 “期望” 将随机演化转化为确定性算子作用。

2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）。若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的特征函数，即存在<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> （详细过程见下文Koopman模式分解）。

2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）。若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的特征函数，即存在<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> （详细过程见下文Koopman模式分解）。

=Koopman模式分解=

=Koopman模式分解=