842
个编辑
更改
无编辑摘要
假设有一个系统，每隔一段时间Δt我们就测量一次系统的状态。比如，一个网格上有 100x100 个点，每个点的温度、压力等数据组成一个很长的向量。采样测量了 m+1个时间点。
假设有一个系统，每隔一段时间Δt我们就测量一次系统的状态。比如，一个网格上有 100x100 个点，每个点的温度、压力等数据组成一个很长的向量。采样测量了 m+1个时间点。
下图是一张关于DMD算法在流体流动应用上的算法流程示意图<ref name=brunton_2022 />。图中左侧展示了一系列实验图像时间序列，即切片数据。时间t从上到下增加，表示流体流经圆柱体时的动态变化。有了这些数据作为输入，下图中间部分是拟合过程。我们可以直接通过最小二乘法拟合出线性迭代矩阵A。右侧则是DMD的输出。一方面我们可以预测系统未来的演化，更重要的，我们可以通过对矩阵A做特征值分解，得到Koopman特征值和特征函数的近似（理论见上文“Koopman模式分解”章节），从而可以把原本的动力学分解成几个主要的动力学模式。这些动力学模式分别提取出了原动力学中具有物理含义的结构，比如平均流场、不同尺度的涡旋等等。
[[文件:DMD算法图3.1.png|410x410px|替代=]]
[[文件:DMD算法图3.1.png|410x410px|替代=]]
5.DMD模态为：<math> \varphi = \frac {1} {\lambda} \mathbf{X'} \mathbf{V} \mathbf{Σ^{-1}} \omega </math>。
5.DMD模态为：<math> \varphi = \frac {1} {\lambda} \mathbf{X'} \mathbf{V} \mathbf{Σ^{-1}} \omega </math>。
下面是一个关于“空腔流动”的示例<ref name=Schmid_2010 />。如下图（选定参数：均匀来流速度，雷诺数Re=4500）。
下面是一个关于“空腔流动”的示例<ref name=Schmid_2010 />。如下图所示，左上角的箭头表示均匀流从左侧进入可观测空间的上半部分，右侧虚线表示流体流出。我们关心的是图下半部分的方形空腔。空腔中红色波浪线表示流体的剪切层，会出现自持震荡的不稳定性。红色弯曲箭头表示流体撞击墙壁后形成的漩涡流动。蓝色虚线框出的倒L形区域是作者采集数据分析的区域。作者们试图验证只需要局部区域的数据，DMD就可以提取出全局的主导动力学。
[[文件:空腔流动fig1.png|410x410px|替代=]]
[[文件:空腔流动fig1.png|410x410px|替代=]]
数据基于二维[[纳维-斯托克斯方程]]生成。我们按照如上所述的DMD算法进行处理，提取的频谱展示于下图。其中每一个彩色的点代表一个DMD求得的特征值，横轴是特征值的虚部，纵轴是特征值的实部。点的颜色表明该模态对应的能量大小（通过SVD得到），红色代表能量大，蓝色代表能量小。
实部大于0（横线上方）：表示不稳定模态，随时间会一直增长。
[[文件:空腔流动fig2.png|410x410px|替代=]]
实部小于0（横线下方）：表示稳定模态，随时间衰减。
实部等于0（黑色实线）：表示中性稳定（既不增长也不衰减），通常对应[[极限环]]或周期性[[稳态]]。
图中虚线表明，特征值分布在两条抛物线形状的分支上。更靠上的抛物线跨越了代表中性稳定的横线，出现了不稳定的特征值，对应的是空腔顶部自持震荡不稳定的剪切层。而一直处于横线下方的抛物线所对应的便是空腔底部里稳定的涡旋。
[[文件:空腔流动fig2.png|410x410px|替代=]]
下图展示了雷诺数Re=4500时方形空腔流的DMD空间模态。这些三维曲面图可视化了流向速度的波动幅度，每一个子图对应于之前频谱图中不同的特征值分支。曲面上的高度和颜色反应了某个模态上流向速度的分布。其中a图对应最不稳定的剪切层，可以看到在剪切层的位置处有一个巨大的波包结构。b-d图对应不稳定抛物线分支上的其他特征值，它们的能量开始渐渐向方形空间内部转移，但主要能量还是集中在剪切层的位置。e和f图则是对应稳定抛物线分支上的特征值，能量的流动基本上是在方形空腔里循环，而且由于阻尼作用，能量在不断的衰减。
[[文件:未命名2.png|410x410px|替代=]]
[[文件:未命名2.png|410x410px|替代=]]
DMD是简单地将原始状态本身视为观测函数，其计算高效、概念直观。然而，随着系统复杂度和数据维度的急剧攀升，计算成本成为瓶颈。而且很多场景需要更复杂的非线性观测才能捕捉到重要的物理结构。为此，包括扩展DMD（extended DMD，eDMD）<ref name=william_2015>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015), pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</ref>、随机DMD（Randomized DMD）<ref name=ranDMD>Erichson, N. B., Mathelin, L., Kutz, J. N. & Brunton, S. L. Randomized dynamic mode decomposition. Siam J. Appl. Dyn. Syst. 18, 1867–1891 (2019)</ref>等等方法应运而生。它们有的在原始DMD的基础上，引入了更多的观测方式和非线性观测函数，从而能够处理更高维的系统。另外，诸如随机DMD，通过引入随机投影、随机采样等数值技术，在基本保持DMD分析精度的同时，极大地降低了大规模问题的计算与存储开销，为处理高维、实时的数据流提供了高效方案。下面将简要介绍几种主要的前沿数据驱动算法。
==扩展DMD==
==扩展DMD==
虽然DMD已成为一种近似Koopman算子的标准数值方法，但它基于对系统的线性测量，因此缺乏用于近似Koopman算子的强非线性系统所需的非线性坐标变换。为了解决这一问题，Williams等人提出了扩展DMD（extended DMD，eDMD）<ref name=william_2015>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015), pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</ref>，使得最佳拟合线性DMD回归可以在一个包含状态非线性测量的扩展向量上进行。
虽然DMD已成为一种近似Koopman算子的标准数值方法，但它基于对系统的线性测量，因此缺乏用于近似Koopman算子的强非线性系统所需的非线性坐标变换。为了解决这一问题，Williams等人提出了扩展DMD（extended DMD，eDMD）<ref name=william_2015 />，使得最佳拟合线性DMD回归可以在一个包含状态非线性测量的扩展向量上进行。
在eDMD中，一个扩展状态 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{R}^p</math> 由对状态 <math>\mathbf{x}</math> 的非线性测量函数 <math>g_k</math> 构造而成：
在eDMD中，一个扩展状态 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{R}^p</math> 由对状态 <math>\mathbf{x}</math> 的非线性测量函数 <math>g_k</math> 构造而成：