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Koopman算子理论 (查看源代码)

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第17行：第17行：

==时间离散==

−

离散时间场景适用于状态演化由离散映射描述的系统，如采样数据系统、迭代过程、数字控制中的离散时间模型等，是实际工程中数据驱动建模的常用场景。设离散时间自治动力系统的状态演化满足：

+

[[离散时间]]场景适用于状态演化由离散映射描述的系统，如[[采样]]数据系统、[[迭代]]过程、数字控制中的[[离散时间]]模型等，是实际工程中数据驱动建模的常用场景。设[[离散时间]]自治[[动力系统]]的状态演化满足：

−

其中 <math> k = 0, 1, 2, \dots </math>~~是离散时间步，~~<math> F: X \to X </math>~~是离散流映射（可能非线性），~~ <math> x_{k+1} </math>是第<math> k+1 </math> ~~步的状态。离散时间Koopman算子~~ <math> \mathcal{K}: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：

+

其中 <math> k = 0, 1, 2, \dots </math>是[[离散时间]]步，<math> F: X \to X </math>是离散[[流映射]]（可能[[非线性]]）， <math> x_{k+1} </math>是第<math> k+1 </math> 步的状态。[[离散时间]]Koopman[[算子]] <math> \mathcal{K}: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：

<math> \mathcal{K} g(x) = g\left( F(x) \right) </math>

−

对于 <math> t = m </math>~~个离散时间步~~<math> m \in \mathbb{N} </math>~~，算子可表示为~~<math> \mathcal{K}^m g(x) = g\left( F^m(x) \right) </math>，即 m ~~次算子作用等价于~~ m 次状态演化后的观测，其中<math> F^m = F \circ F \circ \dots \circ F </math> （m次复合）。

+

对于 <math> t = m </math>个[[离散时间]]步<math> m \in \mathbb{N} </math>，[[算子]]可表示为<math> \mathcal{K}^m g(x) = g\left( F^m(x) \right) </math>，即 m 次[[算子]]作用等价于 m 次状态演化后的观测，其中<math> F^m = F \circ F \circ \dots \circ F </math> （m次复合）。

−

式中，<math> g(x) </math>是任意观测函数； <math> F(x) </math>~~是离散流映射，将第~~ k 步状态<math> x_k </math> 映射到第 k+1 步状态 <math> x_{k+1} </math>； <math> g\left( F(x) \right) </math>是观测函数的演化结果，表示“先让状态 x 演化1个离散步，再对演化后的状态进行观测”。

+

式中，<math> g(x) </math>是任意观测函数； <math> F(x) </math>是离散[[流映射]]，将第 k 步状态<math> x_k </math> 映射到第 k+1 步状态 <math> x_{k+1} </math>； <math> g\left( F(x) \right) </math>是观测函数的演化结果，表示“先让状态 x 演化1个离散步，再对演化后的状态进行观测”。

==时间连续==

−

~~连续时间场景适用于状态演化由~~[[常微分方程（ODE）]]或[[偏微分方程（PDE）]]~~描述的系统，如连续运动的机械系统、流体流动等。~~

+

[[连续]]时间场景适用于状态演化由[[常微分方程（ODE）]]或[[偏微分方程（PDE）]]描述的系统，如[[连续]]运动的机械系统、流体流动等。

−

~~设连续时间自治动力系统的状态演化满足：~~

+

设[[连续]]时间自治[[动力系统]]的状态演化满足：

−

其中<math> \dot{x} = \frac{dx}{dt} </math>是状态的时间导数，<math> f: X \to \mathbb{R}^n </math>~~是描述动力学的向量场（可能非线性）。~~

+

其中<math> \dot{x} = \frac{dx}{dt} </math>是状态的时间导数，<math> f: X \to \mathbb{R}^n </math>是描述[[动力学]]的[[向量场]]（可能[[非线性]]）。

−

~~连续时间Koopman算子~~<math> \mathcal{K}^t: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math> 定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：

+

[[连续]]时间Koopman[[算子]]<math> \mathcal{K}^t: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math> 定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：

<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>

−

式中， <math> \mathcal{K}^t </math>~~为连续时间Koopman算子，参数~~<math> t </math> 表示演化时间长度， <math> g(x) </math>为任意观测函数，如 <math> g(x) = x_1 </math>（状态第一分量）、<math> \varphi </math>（状态模长平方）等等， <math> F^t(x) </math>~~为流映射，将初始状态~~ <math> x </math>~~沿动力学轨迹推进时间~~ <math> t </math>，即 <math> F^t(x) = x(t) </math>， <math> g\left( F^t(x) \right) </math>为观测函数的演化结果，表示“先让状态<math> x </math>演化时间 <math> t </math>，再对演化后的状态进行观测”，<math> \mathcal{K}^t </math>不改变观测函数的形式，仅在观测空间描述观测函数观测量的演化。

+

式中， <math> \mathcal{K}^t </math>为[[连续]]时间Koopman[[算子]]，参数<math> t </math> 表示演化时间长度， <math> g(x) </math>为任意观测函数，如 <math> g(x) = x_1 </math>（状态第一分量）、<math> \varphi </math>（状态模长平方）等等， <math> F^t(x) </math>为[[流映射]]，将[[初始状态]] <math> x </math>沿[[动力学]]轨迹推进时间 <math> t </math>，即 <math> F^t(x) = x(t) </math>， <math> g\left( F^t(x) \right) </math>为观测函数的演化结果，表示“先让状态<math> x </math>演化时间 <math> t </math>，再对演化后的状态进行观测”，<math> \mathcal{K}^t </math>不改变观测函数的形式，仅在观测空间描述观测函数观测量的演化。

−

对于光滑的观测函数 <math> g </math>~~，连续时间Koopman算子的瞬时演化~~<math> t \to 0 </math>~~可通过无穷小生成元~~ <math> \mathcal{L} </math>~~（Lie算子，详细见下面与其他算子的关系~~-~~Lie算子）描述，定义为：~~

+

对于光滑的观测函数 <math> g </math>，[[连续]]时间Koopman[[算子]]的瞬时演化<math> t \to 0 </math>可通过无穷小[[生成元]] <math> \mathcal{L} </math>（[[Lie算子]]，详细见下面与其他[[算子]]的关系-[[Lie算子]]）描述，定义为：

<math> \mathcal{L} g = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t g - g}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g \circ F^t - g}{t} </math>

第51行：第51行：

其中 <math> g \circ F^t = g(F^t(x)) </math>是函数复合运算。

−

~~结合链式法则，生成元可简化为Lie导数形式（核心等价式）：~~

+

结合[[链式法则]]，[[生成元]]可简化为Lie导数形式（核心等价式）：

<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) = \nabla g(x) \cdot f(x) </math>

−

式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> ~~处的梯度（~~ <math> n </math>~~维向量），即~~ <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ，<math> f(x) </math> ~~为系统的向量场，描述状态的瞬时变化率；~~ <math> \cdot </math>~~为向量点积，结果为标量，生成元~~ <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率。

+

式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的[[梯度]]（ <math> n </math>维[[向量]]），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ，<math> f(x) </math> 为系统的[[向量场]]，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为[[向量]][[点积]]，结果为[[标量]]，[[生成元]] <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率。

== 随机动力系统 ==

−

~~实际系统常受随机噪声、参数扰动或外部不确定性影响，此时需将~~ Koopman ~~算子扩展到~~[[随机动力系统]]（RDS，Random Dynamical System），核心是通过 “期望” ~~将随机演化转化为确定性算子作用。~~

+

实际系统常受[[随机]][[噪声]]、参数扰动或外部不[[确定性]]影响，此时需将 Koopman [[算子]]扩展到[[随机动力系统]]（RDS，Random Dynamical System），核心是通过 “期望” 将[[随机]]演化转化为[[确定性]][[算子]]作用。

−

~~设含噪声的随机动力系统由~~[[随机微分方程（SDE）|随机微分方程（SDE，stochastic differential equation）]]给出：

+

设含[[噪声]]的[[随机动力系统]]由[[随机微分方程（SDE）|随机微分方程（SDE，stochastic differential equation）]]给出：

<math> dx(t) = f(x(t)) dt + \sigma(x(t)) dW(t)，\quad x(0) = x_0 \in X </math>

−

其中 <math> W(t) </math>是[[维纳过程]]（Wiener ~~process，白噪声），~~<math> \sigma(x(t)) </math>~~是噪声强度矩阵，~~<math>\mathbf{f}</math> ~~描述了系统的确定性部分。~~

+

其中 <math> W(t) </math>是[[维纳过程]]（Wiener process，[[白噪声]]），<math> \sigma(x(t)) </math>是[[噪声]]强度矩阵，<math>\mathbf{f}</math> 描述了系统的[[确定性]]部分。

−

随机 Koopman 算子 <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}}：\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>~~定义为期望算子~~<ref name="brunton_2022" /><ref>N. C\v rnjaric\'-Z\v ic, S. Mac\'es\v ic\', and I. Mezi\'c, Koopman operator spectrum for random dynamical systems, J. Nonlinear Sci., 30 (2020), pp. 2007--2056, <nowiki>https://doi.org/10.1007/s00332019-09582-z</nowiki></ref>：

+

[[随机]] Koopman [[算子]] <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}}：\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为期望[[算子]]<ref name="brunton_2022" /><ref>N. C\v rnjaric\'-Z\v ic, S. Mac\'es\v ic\', and I. Mezi\'c, Koopman operator spectrum for random dynamical systems, J. Nonlinear Sci., 30 (2020), pp. 2007--2056, <nowiki>https://doi.org/10.1007/s00332019-09582-z</nowiki></ref>：

<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>

−

其中，<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>~~为随机~~ Koopman ~~算子，参数~~ t 为演化时间，<math> \mathbb{E}_x </math>~~为条件期望算子，下标表示初始状态为~~ <math> x </math>~~，期望针对噪声过程~~ <math> W(t) </math>计算，<math> F^t(x, W) </math>~~为随机流映射，表示初始状态~~<math> x </math>~~在噪声~~ <math> W(t) </math>作用下经时间 t 的演化结果（SDE ~~的解，依赖噪声实现），~~<math> g\left( F^t(x, W) \right) </math>~~为随机观测结果，随噪声~~ <math> W(t) </math>变化。

+

其中，<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>为[[随机]] Koopman [[算子]]，参数 t 为演化时间，<math> \mathbb{E}_x </math>为条件期望[[算子]]，下标表示[[初始状态]]为 <math> x </math>，期望针对[[噪声]]过程 <math> W(t) </math>计算，<math> F^t(x, W) </math>为[[随机]][[流映射]]，表示[[初始状态]]<math> x </math>在[[噪声]] <math> W(t) </math>作用下经时间 t 的演化结果（SDE 的解，依赖[[噪声]]实现），<math> g\left( F^t(x, W) \right) </math>为[[随机]]观测结果，随[[噪声]] <math> W(t) </math>变化。

−

~~公式核心是通过期望消除噪声随机性，得到观测函数的平均演化~~ —— 随机 Koopman ~~算子作用后，输出为确定性函数（平均观测值）。~~

+

公式核心是通过期望消除[[噪声]][[随机]]性，得到观测函数的平均演化 —— [[随机]] Koopman [[算子]]作用后，输出为[[确定性]]函数（平均观测值）。

−

对于光滑观测函数<math> g </math>~~，根据随机微积分里的“链式法则”，~~[[伊藤公式（Ito's lemma）]]~~，可以将随机~~ Koopman ~~算子的生成元展开为：~~

+

对于光滑观测函数<math> g </math>，根据[[随机]]微积分里的“[[链式法则]]”，[[伊藤公式（Ito's lemma）]]，可以将[[随机]] Koopman [[算子]]的[[生成元]]展开为：

<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} =\underbrace{\nabla g(x) \cdot \mathbf{f}(x)}_{\text{确定性漂移项}} + \underbrace{\frac{1}{2} \text{Tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right]}_{\text{随机扩散项}} </math>

−

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>~~为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率，~~<math> σ(x) </math>~~为噪声贡献项，~~<math> Tr(⋅) </math>是矩阵[[迹]]（对角线元素之和），<math> \nabla^2 g</math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]~~（二阶偏导数矩阵）。噪声项通过~~ [[Hessian 矩阵]]~~影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献，当噪声强度~~<math> \sigma(x) = 0 </math>~~时，随机算子退化为确定性连续时间~~ Koopman ~~算子，随机~~ Koopman ~~算子的~~[[特征值]]~~可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），~~[[特征函数]]可刻画系统的 ~~“平均线性化”~~ 演化。

+

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与[[确定性系统]]的[[生成元]]一致，对应无[[噪声]]时观测函数的瞬时变化率，<math> σ(x) </math>为[[噪声]]贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵[[迹]]（对角线元素之和），<math> \nabla^2 g</math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]（二阶偏导数矩阵）。[[噪声]]项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映[[噪声]]对观测不[[确定性]]的贡献，当[[噪声]]强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，[[随机]][[算子]]退化为[[确定性]][[连续]]时间 Koopman [[算子]]，[[随机]] Koopman [[算子]]的[[特征值]]可能包含衰减项（对应[[噪声]]导致的不[[确定性]][[耗散]]），[[特征函数]]可刻画系统的 “平均[[线性化]]” 演化。

== 算子性质 ==

−

~~Koopman算子主要具有两种特性：线性性、半群性质~~<ref name="brunton_2022" />。

+

Koopman[[算子]]主要具有两种特性：线性性、[[半群]]性质<ref name="brunton_2022" />。

1. 线性性：满足<math> \mathcal{K} (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K} g_1 + \alpha_2 \mathcal{K} g_2 </math> ；

−

2. ~~半群性质：~~<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）。若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> ~~的特征函数，即存在~~<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> ~~（详细过程见下文Koopman模式分解）。~~

+

2. [[半群]]性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）。若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的[[特征函数]]，即存在<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> （详细过程见下文Koopman[[模式分解]]）。

−

3. ~~伴随算子：Koopman算子与~~[[Perron-Frobenius算子]]<math>\mathcal{P}</math>~~互为伴随算子，即~~<math>\langle \mathcal{P}^t f, g \rangle = \langle f, \mathcal{K}^t g \rangle, \text{ 其中 } \langle f, g \rangle := \int_{\mathcal{X}} \bar{f}(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) dm.</math>~~详细的阐述见后文“Perron~~-~~Frobenius算子”章节。~~

+

3. 伴随[[算子]]：Koopman[[算子]]与[[Perron-Frobenius算子]]<math>\mathcal{P}</math>互为伴随[[算子]]，即<math>\langle \mathcal{P}^t f, g \rangle = \langle f, \mathcal{K}^t g \rangle, \text{ 其中 } \langle f, g \rangle := \int_{\mathcal{X}} \bar{f}(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) dm.</math>详细的阐述见后文“[[Perron-Frobenius算子]]”章节。

−

4. 无穷小[[生成元]]~~：Koopman算子的无穷小生成元是~~[[Lie算子]]~~，即在观测空间中，根据Koopman算子迭代的一步过程可以由~~[[Lie算子]]作用很多步生成得到。

+

4. 无穷小[[生成元]]：Koopman[[算子]]的无穷小[[生成元]]是[[Lie算子]]，即在观测空间中，根据Koopman[[算子]][[迭代]]的一步过程可以由[[Lie算子]]作用很多步生成得到。

=Koopman模式分解=

第96行：第96行：

==特征函数与特征值==

−

~~一个对应于特征值~~<math> \lambda </math>~~的Koopman特征函数~~<math>\varphi(\mathbf{x})</math>满足：

+

一个对应于[[特征值]]<math> \lambda </math>的Koopman[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>满足：

{{NumBlk|:|

第104行：第104行：

|{{EquationRef|1}}}}

−

~~在连续时间下，Lie算子的特征函数~~<math>\varphi(\mathbf{x})</math>满足：

+

在[[连续]]时间下，[[Lie算子]]的[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>满足：

<math>

第110行：第110行：

</math>

−

其中<math>\mu</math>~~是连续时间下的特征值。一般来说，即使状态空间~~<math>\mathcal{X}</math>~~和动力学~~<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>~~是实值的，特征值和特征向量通常分别是复值的标量和函数。~~

+

其中<math>\mu</math>是[[连续]]时间下的[[特征值]]。一般来说，即使[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>和[[动力学]]<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>是实值的，[[特征值]]和[[特征向量]]通常分别是复值的[[标量]]和函数。

−

~~如果我们考虑本身已经是线性的动力学，可以进一步说明线性时间离散动力学~~<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n</math>~~的特征向量与~~<math>g_{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>~~的特征函数之间的联系。给定矩阵~~<math>\mathbf{A}</math>~~的一个左特征向量~~<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>~~，我们可以构造一个对应的Koopman特征函数如下~~

+

如果我们考虑本身已经是线性的[[动力学]]，可以进一步说明线性时间离散[[动力学]]<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n</math>的[[特征向量]]与<math>g_{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>的[[特征函数]]之间的联系。给定矩阵<math>\mathbf{A}</math>的一个左[[特征向量]]<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>，我们可以构造一个对应的Koopman[[特征函数]]如下

<math>

第124行：第124行：

</math>

−

换句话说，<math>\mathbf{A}</math>~~的右特征向量在状态空间~~<math>\mathcal{X}</math>~~中给出了随时间不变的方向。而左特征向量则对应于Koopman特征函数，在观测空间~~<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中也同样对应于随时间不变的方向。在一般系统中，一组Koopman特征函数可以用来生成更多的特征函数。在离散时间系统中，我们可以发现，两个特征函数<math>\varphi_1(\mathbf{x})</math>和<math>\varphi_2(\mathbf{x})</math>~~的乘积同样是一个特征函数，~~

+

换句话说，<math>\mathbf{A}</math>的右[[特征向量]]在[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>中给出了随时间不变的[[方向]]。而左[[特征向量]]则对应于Koopman[[特征函数]]，在观测空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中也同样对应于随时间不变的[[方向]]。在一般系统中，一组Koopman[[特征函数]]可以用来生成更多的[[特征函数]]。在[[离散时间]]系统中，我们可以发现，两个[[特征函数]]<math>\varphi_1(\mathbf{x})</math>和<math>\varphi_2(\mathbf{x})</math>的乘积同样是一个[[特征函数]]，

<math> \mathcal{K} \left(\varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x})\right) = \varphi_1(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\varphi_2(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \lambda_1\lambda_2 \varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x}). </math>

−

~~代数上，当观测空间在乘法下封闭时，Koopman特征函数的集合在逐点乘法下形成一个~~[[交换幺半群]]~~。这样一来，根据具体的动力系统，可能存在有限组生成元特征函数元素，可以用来构建所有其他特征函数~~<ref name=Bollt_2021>E. Bollt, Geometric considerations of a good dictionary for Koopman analysis of dynamical systems: Cardinality, ``primary eigenfunction,"" and efficient representation, Comm.

+

[[代数]]上，当观测空间在乘法下封闭时，Koopman[[特征函数]]的[[集合]]在逐点乘法下形成一个[[交换幺半群]]。这样一来，根据具体的[[动力系统]]，可能存在有限组[[生成元]][[特征函数]]元素，可以用来构建所有其他[[特征函数]]<ref name=Bollt_2021>E. Bollt, Geometric considerations of a good dictionary for Koopman analysis of dynamical systems: Cardinality, ``primary eigenfunction,"" and efficient representation, Comm.

Nonlinear Sci. Numer. Simul., 100 (2021), art. 105833. (Cited on pp. 242, 276)</ref>。

−

~~观测函数可以由特征函数线性组合构成，即~~<math>g(\mathbf{x}) \in \mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math>~~，在Koopman算子作用下具有极为简单的演化关系：~~

+

观测函数可以由[[特征函数]]线性组合构成，即<math>g(\mathbf{x}) \in \mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math>，在Koopman[[算子]]作用下具有极为简单的演化关系：

<math>

第139行：第139行：

</math>

−

这意味着子空间 <math>\mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math> ~~在Koopman算子~~ <math>\mathcal{K}</math> ~~的作用下是不变的。因此我们可以分析一般观测量分解到特征函数下的时间演化。这种分析为数据驱动算法中的动力学模式分解（Dynamic~~ Mode Decomposition, DMD）方法奠定了基础。到目前为止，我们只给定了单一的观测函数，接下来我们写出多个观测函数下Koopman模式分解的表达式。我们将这些观测整理成一个向量<math>\mathbf{g}</math>：

+

这意味着子空间 <math>\mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math> 在Koopman[[算子]] <math>\mathcal{K}</math> 的作用下是不变的。因此我们可以分析一般观测量分解到[[特征函数]]下的时间演化。这种分析为数据驱动算法中的[[动力学]][[模式分解]]（Dynamic Mode Decomposition, DMD）方法奠定了基础。到目前为止，我们只给定了单一的观测函数，接下来我们写出多个观测函数下Koopman[[模式分解]]的[[表达式]]。我们将这些观测整理成一个[[向量]]<math>\mathbf{g}</math>：

<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x}) \\ g_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} . </math>

−

~~每一个单独的测量都可以用特征函数~~<math>\varphi_j(\mathbf{x})</math>的基展开表示：

+

每一个单独的测量都可以用[[特征函数]]<math>\varphi_j(\mathbf{x})</math>的基展开表示：

<math> g_i(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^\infty v_{ij} \varphi_j(\mathbf{x}) . </math>

−

~~因此，观测量向量~~<math>\mathbf{g}</math>~~也可以类似地展开为~~

+

因此，观测量[[向量]]<math>\mathbf{g}</math>也可以[[类似]]地展开为

<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x}) \\ g_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} = \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}) \mathbf{v}_j, </math>

−

其中<math>\mathbf{v}_j</math>~~被称为与特征函数~~<math>\varphi_j</math>相关联的第<math>j</math>个Koopman模态。

+

其中<math>\mathbf{v}_j</math>被称为与[[特征函数]]<math>\varphi_j</math>相关联的第<math>j</math>个Koopman模态。

−

~~对于守恒动力系统，例如由~~[[哈密顿动力学]]~~支配的系统，Koopman算子在关于守恒测度下的平方可积函数空间~~<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中是[[酉算子]]~~。因此，Koopman特征函数在守恒系统中构成一组正交归一基，并且可以通过投影直接计算Koopman模态~~<math>\mathbf{v}_j</math>：

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对于守恒[[动力系统]]，例如由[[哈密顿动力学]]支配的系统，Koopman[[算子]]在关于守恒[[测度]]下的平方可积函数空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中是[[酉算子]]。因此，Koopman[[特征函数]]在守恒系统中构成一组正交归一基，并且可以通过[[投影]]直接计算Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>：

<math> \mathbf{v}_j = \begin{bmatrix} \langle \varphi_j, g_1 \rangle \\ \langle \varphi_j, g_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle \varphi_j, g_p \rangle \end{bmatrix} , </math>

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其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>~~空间上函数的标准内积。因此，观测函数展开可以看作是在特征函数坐标系下的一种基变换。我们可以将观测量~~<math>\mathbf{g}</math>~~的动力学表示如下：~~

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其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>空间上函数的标准[[内积]]。因此，观测函数展开可以看作是在[[特征函数]]坐标系下的一种基变换。我们可以将观测量<math>\mathbf{g}</math>的[[动力学]]表示如下：

<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>

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这组三元组<math>\{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}j)\}_{j=1}^\infty</math>称为'''~~Koopman模式分解~~'''，由Mezić于2005年提出<ref>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>~~。通常，可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。如下文“DMD”章节所示，DMD估计中，DMD的特征值将近似Koopman特征值~~<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>~~，而DMD的模态幅值将近似初始状态下相应Koopman特征函数的值~~<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。需要注意的是，Koopman模态和特征函数是不同的数学对象，其近似方法也不相同。Koopman特征函数通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。

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这组三元组<math>\{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}j)\}_{j=1}^\infty</math>称为'''Koopman[[模式分解]]'''，由Mezić于2005年提出<ref>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>。通常，可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。如下文“DMD”章节所示，DMD估计中，DMD的[[特征值]]将近似Koopman[[特征值]]<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>，而DMD的模态幅值将近似[[初始状态]]下相应Koopman[[特征函数]]的值<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。需要注意的是，Koopman模态和[[特征函数]]是不同的[[数学]]对象，其近似方法也不相同。Koopman[[特征函数]]通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。

==一般的观测函数下如何得到特征函数？==

Matthew

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