更改

其中观测函数<math>g \colon \mathcal{X} \to \mathbb{C}</math>构成了集合<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>。对于<math> t = m </math>个[[离散时间]]步<math> m \in \mathbb{N} </math>，[[算子]]可表示为<math> \mathcal{K}^m g(x) = g\left( F^m(x) \right) </math>，即 m 次[[算子]]作用等价于 m 次状态演化后的观测，其中<math> F^m = F \circ F \circ \dots \circ F </math> （m次复合）。  

其中观测函数<math>g \colon \mathcal{X} \to \mathbb{C}</math>构成了集合<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>。对于<math> t = m </math>个[[离散时间]]步<math> m \in \mathbb{N} </math>，[[算子]]可表示为<math> \mathcal{K}^m g(x) = g\left( F^m(x) \right) </math>，即 m 次[[算子]]作用等价于 m 次状态演化后的观测，其中<math> F^m = F \circ F \circ \dots \circ F </math> （m次复合）。  

其中观测函数可以任意地选取，比如<math>g(x) = x^n,\quad n\in\mathbb{N}</math>， <math>g(x) = \sin x</math>， <math>g(x) = \mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma^2)}</math>等等（需要使得观测函数空间满足Koopman不变子空间，详见下文）。

观测函数可以任意地选取，比如<math>g(x) = x^n,\quad n\in\mathbb{N}</math>， <math>g(x) = \sin x</math>， <math>g(x) = \mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma^2)}</math>等等（需要使得观测函数空间满足Koopman不变子空间，详见下文）。

==时间连续==

==时间连续==

设[[连续]]时间自治[[动力系统]]的状态演化满足：  

设[[连续]]时间自治[[动力系统]]的状态演化满足：  

<math> \dot{x}(t) = f(x(t)), \quad x(0) = x_0 \in X </math>  

<math> \dot{x}(t) = f(x(t)), \quad x(0) = x_0 \in \mathcal{X} </math>  

其中<math> \dot{x} = \frac{dx}{dt}  </math>是状态的时间导数，<math> f: X \to \mathbb{R}^n  </math>是描述[[动力学]]的[[向量场]]（可能[[非线性]]）。   

其中<math> \dot{x} = \frac{dx}{dt}  </math>是状态的时间导数，<math> f: X \to \mathbb{R}^n  </math>是描述[[动力学]]的[[向量场]]（可能[[非线性]]）。   

[[连续]]时间Koopman[[算子]]<math> \mathcal{K}^t: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math> 定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：  

[[连续]]时间Koopman[[算子]]<math> \mathcal{K}^t: \mathcal{G}(\mathcal{X}) \to \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math> 定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：  

<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>   

<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>   

设含[[噪声]]的[[随机动力系统]]由[[随机微分方程（SDE）|随机微分方程（SDE，stochastic differential equation）]]给出：

设含[[噪声]]的[[随机动力系统]]由[[随机微分方程（SDE）|随机微分方程（SDE，stochastic differential equation）]]给出：

<math> dx(t) = f(x(t)) dt + \sigma(x(t)) dW(t)，\quad x(0) = x_0 \in X  </math>

<math> dx(t) = f(x(t)) dt + \sigma(x(t)) dW(t)，\quad x(0) = x_0 \in \mathcal{X} </math>

其中 <math> W(t) </math>是[[维纳过程]]（Wiener process，[[白噪声]]），<math>  \sigma(x(t)) </math>是[[噪声]]强度矩阵，<math>\mathbf{f}</math> 描述了系统的[[确定性]]部分。

其中 <math> W(t) </math>是[[维纳过程]]（Wiener process，[[白噪声]]），<math>  \sigma(x(t)) </math>是[[噪声]]强度矩阵，<math>\mathbf{f}</math> 描述了系统的[[确定性]]部分。

[[随机]] Koopman [[算子]] <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}}：\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为期望[[算子]]<ref name="brunton_2022" /><ref>N. C\v  rnjaric\'-Z\v ic, S. Mac\'es\v ic\', and I. Mezi\'c, Koopman operator spectrum for random dynamical systems, J. Nonlinear Sci., 30 (2020), pp. 2007--2056, <nowiki>https://doi.org/10.1007/s00332019-09582-z</nowiki></ref>：

[[随机]] Koopman [[算子]] <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}}：\mathcal{G}(\mathcal{X}) \to \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>定义为期望[[算子]]<ref name="brunton_2022" /><ref>N. C\v  rnjaric\'-Z\v ic, S. Mac\'es\v ic\', and I. Mezi\'c, Koopman operator spectrum for random dynamical systems, J. Nonlinear Sci., 30 (2020), pp. 2007--2056, <nowiki>https://doi.org/10.1007/s00332019-09582-z</nowiki></ref>：

<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>

<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>