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=== 生成机制：社区引导与森林火灾模型 ===

=== 生成机制：社区引导与森林火灾模型 ===

假设网络节点嵌套于层级化的社区结构中，跨社区形成连接的概率随层级深度 [math]\displaystyle d[/math] 指数性衰减。若跨层连接概率为 [math]\displaystyle p(l) \propto c^{-l}[/math]，则可推出网络的边数与节点数满足<ref name=":18" />：

第一个模型为[[社区引导的附着模型]]（Community Guided Attachment, CGA）。假设网络节点嵌套于层级化的社区结构中，跨社区形成连接的概率随层级深度 [math]\displaystyle d[/math] 而指数性衰减。若跨层连接概率为 [math]\displaystyle p(l) \propto c^{-l}[/math]，则可推出网络的边数与节点数满足<ref name=":18" />：

:<math>

:<math>

</math>

</math>

其中，[math]\quad a = 1+\frac{1}{(1+\alpha)d}[/math]

其中，[math]\quad a = 1+\frac{1}{(1+\alpha)d}[/math]，这里 [math] \alpha[/math] 为社区紧密度参数。当 [math]\alpha[/math] 较小时，跨社区连接容易形成，系统趋向超线性致密化；当 [math]\alpha[/math] 较大时，网络增长趋近线性。

其中 [math]\displaystyle \alpha[/math] 为社区紧密度参数。当 [math]\displaystyle \alpha[/math] 较小时，跨社区连接容易形成，系统趋向超线性致密化；当 [math]\displaystyle \alpha[/math] 较大时，网络增长趋近线性。

 

为同时解释致密化规模法则与收缩直径现象，Leskovec 等人提出了[[复杂网络]]版本的[[森林火灾模型]]（Forest Fire Model）。新节点以概率 [math]p_f[/math]（前向燃烧）与 [math]p_b[/math]（反向燃烧）[[递归]]连接到已有[[节点]]及其邻居：新节点选择一个“点火节点”；按概率 [math]p_f[/math] 连接其出邻居，按 [math]p_b[/math] 连接其入邻居；对新连接的节点重复此过程，直到燃烧终止。

（二）森林火灾模型（Forest Fire Model）

 

为同时解释致密化与收缩直径，Leskovec 等人提出了[[森林火灾模型]]。新节点以概率 [math]\displaystyle p_f[/math]（前向燃烧）与 [math]\displaystyle p_b[/math]（反向燃烧）[[递归]]连接到已有[[节点]]及其邻居：新节点选择一个“点火节点”；按概率 [math]\displaystyle p_f[/math] 连接其出邻居，按 [math]\displaystyle p_b[/math] 连接其入邻居；对新连接的节点重复此过程，直到燃烧终止。

模型模拟表明，在特定参数区域，网络自发满足<ref name=":18" />：

模型模拟表明，在特定参数区域，网络自发满足<ref name=":18" />：

<nowiki>[math]\displaystyle e(t)\propto n(t)^{a}, \quad 1<a<2, \qquad D_{\text{eff}}(t)\downarrow, [/math]</nowiki>

:<math>

E(t)\propto N(t)^{a}

</math>,

即同时实现超线性致密化与直径收缩。这一过程存在相变：当 [math]\displaystyle p_f[/math] 太小，网络稀疏；过大则迅速饱和；仅在临界区域产生现实网络的拓扑特征。

其中，[math]1<a<2, \qquad D_{\text{eff}}(t)\downarrow, [/math]。即同时实现超线性致密化与直径收缩。这一过程存在着相变现象：当 [math] p_f[/math] 过小，则网络连边稀疏；而如果其过大，则连接会迅速饱和；因此，仅在[math]p_f[/math]的临界区域产生现实网络的拓扑特征。

== 在线社区的规模法则 ==

== 在线社区的规模法则 ==