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设[[连续]]时间自治[[动力系统]]的状态演化满足：
设[[连续]]时间自治[[动力系统]]的状态演化满足：
<math> \dot{x}(t) = f(x(t)), \quad x(0) = x_0 \in \mathcal{X} </math>
:<math> \dot{x}(t) = f(x(t)), \quad x(0) = x_0 \in \mathcal{X} </math>
其中<math> \dot{x} = \frac{dx}{dt} </math>是状态的时间导数，<math> f: \mathcal{X} \to \mathbb{R}^n </math>是描述[[动力学]]的[[向量场]]（可能[[非线性]]）。
其中<math> \dot{x} = \frac{dx}{dt} </math>是状态的时间导数，<math> f: \mathcal{X} \to \mathbb{R}^n </math>是描述[[动力学]]的[[向量场]]（可能[[非线性]]）。
[[连续]]时间Koopman[[算子]]<math> \mathcal{K}^t: \mathcal{G}(\mathcal{X}) \to \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math> 定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：
[[连续]]时间Koopman[[算子]]<math> \mathcal{K}^t: \mathcal{G}(\mathcal{X}) \to \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math> 定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：
<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>
:<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>
式中， <math> \mathcal{K}^t </math>为[[连续]]时间Koopman[[算子]]，参数<math> t </math> 表示演化时间长度， <math> g(x) </math>为任意观测函数，如 <math> g(x) = x_1 </math>（状态第一分量）、<math> \varphi </math>（状态模长平方）等等， <math> F^t(x) </math>为[[流映射]]，将[[初始状态]] <math> x </math>沿[[动力学]]轨迹推进时间 <math> t </math>，即 <math> F^t(x) = x(t) </math>， <math> g\left( F^t(x) \right) </math>为观测函数的演化结果，表示“先让状态<math> x </math>演化时间 <math> t </math>，再对演化后的状态进行观测”，<math> \mathcal{K}^t </math>不改变观测函数的形式，仅在观测空间描述观测函数观测量的演化。
式中， <math> \mathcal{K}^t </math>为[[连续]]时间Koopman[[算子]]，参数<math> t </math> 表示演化时间长度， <math> g(x) </math>为任意观测函数，如 <math> g(x) = x_1 </math>（状态第一分量）、<math> \varphi </math>（状态模长平方）等等， <math> F^t(x) </math>为[[流映射]]，将[[初始状态]] <math> x </math>沿[[动力学]]轨迹推进时间 <math> t </math>，即 <math> F^t(x) = x(t) </math>， <math> g\left( F^t(x) \right) </math>为观测函数的演化结果，表示“先让状态<math> x </math>演化时间 <math> t </math>，再对演化后的状态进行观测”，<math> \mathcal{K}^t </math>不改变观测函数的形式，仅在观测空间描述观测函数观测量的演化。
对于光滑的观测函数 <math> g </math>，为了刻画Koopman算子在瞬时（即演化时间t趋近于0）的演化特性，我们引入无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math>（[[Lie算子]]，详细见下面与其他[[算子]]的关系-[[Lie算子]]），用以消除<math> \mathcal{K} </math>对时间t的依赖，其定义为：
对于光滑的观测函数 <math> g </math>，为了刻画Koopman算子在瞬时（即演化时间t趋近于0）的演化特性，我们引入无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math>（[[Lie算子]]，详细见下面与其他[[算子]]的关系-[[Lie算子]]），用以消除<math> \mathcal{K} </math>对时间t的依赖，其定义为：
<math> \mathcal{L} g = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t g - g}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g \circ F^t - g}{t} </math>
:<math> \mathcal{L} g = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t g - g}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g \circ F^t - g}{t} </math>
其中 <math> g \circ F^t = g(F^t(x)) </math>是函数复合运算。
其中 <math> g \circ F^t = g(F^t(x)) </math>是函数复合运算。
结合[[链式法则]]，[[生成元]]可简化为Lie导数形式（核心等价式）：
结合[[链式法则]]，[[生成元]]可简化为Lie导数形式（核心等价式）：
<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) = \nabla g(x) \cdot f(x) </math>
:<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) = \nabla g(x) \cdot f(x) </math>
式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的[[梯度]]（ <math> n </math>维[[向量]]），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ，<math> f(x) </math> 为系统的[[向量场]]，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为[[向量]][[点积]]，结果为[[标量]]，[[生成元]] <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率。
式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的[[梯度]]（ <math> n </math>维[[向量]]），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ，<math> f(x) </math> 为系统的[[向量场]]，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为[[向量]][[点积]]，结果为[[标量]]，[[生成元]] <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率。