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Koopman算子理论 (查看源代码)

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Koopman算子的任意有限组特征函数都将张成一个不变子空间。把这些特征函数作为系统的“特征坐标”是Koopman分析中很重要的一步，因为沿这些特征函数方向，系统动力学本质上线性化。实际操作中，通常只能识别一个近似不变子空间，由一组函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成，并且每个函数<math>g_j</math>都可以由有限组特征函数近似表示<math> g_j \approx \sum_{k=1}^p v_{jk} \varphi_k </math>。如果我们在实际操作过程中，选取的观测函数不能张成一个不变子空间的话，最后得到的Koopman矩阵会出现[[伪特征值]]的问题<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>。

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~~==[[伪特征值]]的出现==~~

−

然而，如果选取的观测函数并不张成Koopman不变子空间，那么[[投影]][[算子]]将会产生与真实Koopman[[算子]]不同的[[伪特征值]]和伪[[特征向量]]。例如，设有一个平凡的对角线[[线性系统]]，其[[特征值]]<math>\lambda \in \{1, 2, 5\}</math>，[[特征向量]]<math>\xi_j</math>为坐标[[方向]]<math>x_j</math>，以及一个对前两个[[特征向量]]进行混合的简单观测：

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:<math> \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} </math> <math> \quad \text{选择观测函数为} \quad y = x_1 + x_2. </math>

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在这种情况下，数据驱动算法会预测出一个[[伪特征值]]3，这实际上是前两个[[特征值]]<math>\lambda=1</math>和<math>\lambda=2</math>的和，因为测量是前两个[[特征向量]]之和。因此，在实际应用中选取观测函数时，采取一些手段避免[[过拟合]]是非常重要的。除了观测函数选取不当，在数据驱动算法中，如果数据量没有足够多，或者数据[[采样]]相比于原本的[[连续]][[动力学]]过于离散化，也会造成[[伪特征值]]出现的问题。具体分析见下文“残差DMD”章节。

=Koopman[[算子]]应用的简单案例=

Matthew

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