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Koopman算子理论 (查看源代码)

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→‎Koopman算子应用的简单案例

第282行：第282行：

</math>

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其中<math> (y_1, y_2, y_3) = (x_1, x_2, x_1^2)</math>。

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其中<math> (y_1, y_2, y_3) = (x_1, x_2, x_1^2)</math>。我们可以提取和分析Koopman矩阵的[[特征函数]]。通过计算Koopman矩阵的左[[特征向量]]之后，我们找到对应于[[特征值]]μ和λ的Koopman[[特征函数]]为：

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:<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math> 和 <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>，

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其中 <math>\displaystyle{ b = \frac {\lambda} {\lambda-2μ} }</math> 。这个参数代表着快慢变量之间速度变化的比例，其中<math>x_1</math>是慢变量。如果我们以这些[[特征函数]]本身作为观测量来构建不变子空间，那么此时空间上的坐标就是Koopman不变子空间上的特征坐标<ref name=william_2015>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015), pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</ref>

[[文件:Exampleph.png|410x410px|替代=]]

第293行：第297行：

以上内容展示了系统在全局[[线性化]]之后的[[动力学]]分析过程。Koopman[[算子]]便是在合适的观测函数下，将任意的[[非线性系统]]做全局[[线性化]]的变换，而且变换后的[[线性系统]]的性质与原系统的[[动力学]]性质是一致的，两个系统是[[拓扑共轭]]的关系<ref name=lan_2013>Lan, Y., & Mezić, I. (2013). Linearization in the large of nonlinear systems and Koopman operator spectrum. Physica D: Nonlinear Phenomena, 242(1), 42–53. https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.08.017</ref>。

−

我们可以依据前文提及的[[特征函数]]计算方法来提取和分析Koopman矩阵的[[特征函数]]。通过计算Koopman矩阵的左[[特征向量]]之后，我们找到对应于[[特征值]]μ和λ的Koopman[[特征函数]]为：

−

~~:<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math> 和 <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>，~~

−

其中 <math>\displaystyle{ b = \frac {\lambda} {\lambda-2μ} }</math> 。这个参数代表着快慢变量之间速度变化的比例，其中<math>x_1</math>是慢变量。如果我们以这些[[特征函数]]本身作为观测量来构建不变子空间，那么此时空间上的坐标就是Koopman不变子空间上的特征坐标<ref name=william_2015>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015), pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</ref>

=数据驱动算法=

Matthew

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