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→无量纲尺度和尺度不变量
}}</ref> 和1932年被 Julian Sorell Huxley<ref>{{cite book |first=Julian S. |last=Huxley |title=Problems of Relative Growth |edition=2nd |year=1972 |publisher=Dover |location=New York |isbn=0-486-61114-0}}</ref> 首先阐述。异速生长是个著名的研究论题，尤其在统计形状分析及活机体不同部分生长率研究的生物学上。应用之一就是在各种昆虫种类研究上，即整个身体中的某个小部位的变化，能够导致四肢附件如腿、触角等呈现巨大的不成比例的变化。
}}</ref> 和1932年被 Julian Sorell Huxley<ref>{{cite book |first=Julian S. |last=Huxley |title=Problems of Relative Growth |edition=2nd |year=1972 |publisher=Dover |location=New York |isbn=0-486-61114-0}}</ref> 首先阐述。异速生长是个著名的研究论题，尤其在统计形状分析及活机体不同部分生长率研究的生物学上。应用之一就是在各种昆虫种类研究上，即整个身体中的某个小部位的变化，能够导致四肢附件如腿、触角等呈现巨大的不成比例的变化。
=== 无量纲尺度和尺度不变量 ===
=== 量纲分析方法与尺度不变量 ===
[[量纲分析]]（dimensional analysis）是一种只利用物理量的“量纲/单位”关系来推断公式结构、做数量级估算、检验推导是否可能出错的方法。核心思想：任何物理定律在单位变换下都应保持形式一致，因此等式两边的量纲必须相同。
[[量纲分析]]的历史大致经历了从“[[量纲一致性]]直觉”到“系统方法”的演进：17世纪[[经典力学]]兴起后，人们逐渐形成方程两边必须同类量的观念；19世纪[[傅里叶]]在[[热学]]中明确强调用[[量纲一致性]]检验推导，随后[[麦克斯韦]]等推动以基本单位幂次表示物理量、[[瑞利]]常用[[幂律]]假设做尺度推断；1914年Buckingham提出Π定理<ref name='pi_theorem'>{{cite journal|author=E. Buckingham|title=On Physically Similar Systems; Illustrations of the Use of Dimensional Equations|year=1914|journal=Physics Reviews|volume=4|issue=4|page=345-376}}</ref>，把[[量纲分析]]系统化为用[[无量纲群]]刻画物理规律的方法；20世纪在[[流体力学]]、传热与工程缩比实验中随着[[雷诺数]]、[[弗劳德数]]等[[无量纲数]]的广泛应用而成熟，并在现代与[[无量纲]]化和[[尺度分析]]结合，用于建模、[[相似理论]]与数量级估算<ref name='dimensional'>{{cite book|author=P W Bridgman|title=Dimensional Analysis|year=1922|publisher=Kessinger Publishing}}</ref>。
====尺度不变量====
根据[[量纲分析]]中Π定理<ref name='pi_theorem'/>的基本思想，我们可以用量纲约束来构造[[无量纲量]]并把原问题[[降维]]。根据Buckingham的[math]\Pi[/math]定理：若有[math]n[/math] 个变量、涉及[math]k[/math] 个独立基本量纲，则可构造[math]n-k[/math]个独立无量纲群 [math]\Pi_i[/math]，并把关系写成:
:<math>
F(\Pi_1,\dots,\Pi_{n-k})=0.
</math>
[[尺度不变量]]（scale invariants）是指在“缩放变换”（把长度、时间、速度等按比例放大/缩小）下保持不变的组合。多数工程里常说的“相似准则”本质上就是：两系统若关键**无量纲群相同**，就具有相似性；这些无量纲群通常也是相应缩放群下的**不变量**。
在数学建模中，[[无量纲量]]（dimensionless numbers）的发现往往会对复杂问题的求解提供全新的思路，因为这些无量纲量的寻找可能揭示不同系统在本质上的相似性。系统性的寻找无量纲量的方法称为[[量纲分析]]。同时，[[量纲分析]]也与[[规模法则]]或[[规模分析]]方法存在着紧密的联系
在规模法则的一般形式中：
在规模法则的一般形式中：