108
个编辑
更改
→RC电路分析
考虑下图所示的 RC 电路，电阻大小为 <math>R</math>，电容量为 <math>C</math>。记左端输入电压为 <math>V_{\text{in}}</math>，电容器两端的电压 <math>V_{C}</math> 为输出电压，电路中的电流为 <math>I</math>。根据[[基尔霍夫定律]]，可得下面的方程
考虑下图所示的 RC 电路，电阻大小为 <math>R</math>，电容量为 <math>C</math>。记左端输入电压为 <math>V_{\text{in}}</math>，电容器两端的电压 <math>V_{C}</math> 为输出电压，电路中的电流为 <math>I</math>。则电容器上的电容量 <math>Q</math> 遵循下面的微分方程
{{NumBlk|:|
<math>
f(Q) = \dot{Q} = -\frac{1}{RC} \cdot Q + \frac{V_{0}}{R},
</math>
|{{EquationRef|6}}}}
[[文件:RC_Series_Filter_(with_V&I_Labels).png|300x500像素|none|缩略图|串联RC电路，左侧为输入电压，电阻值为 R，电容值量为 C，输出电压为电容两端的电压。引自<ref name='wikipedia rc circuit'>https://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit</ref>]]
===推导过程===
根据[[基尔霍夫定律]]，可得
{{NumBlk|:|
{{NumBlk|:|
\right.
\right.
</math>
</math>
|{{EquationRef|6}}}}
|{{EquationRef|7}}}}
即
即
V_{\text{in}} = RI + \frac{1}{C}\int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t}.
V_{\text{in}} = RI + \frac{1}{C}\int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t}.
</math>
</math>
|{{EquationRef|7}}}}
|{{EquationRef|8}}}}
当 <math>V_{\text{in}}</math> 为恒定电压 <math>V_{0}</math> 时，考虑电容 <math>C</math> 上的充电量 <math>Q</math>。有
当 <math>V_{\text{in}}</math> 为恒定电压 <math>V_{0}</math> 时，考虑电容 <math>C</math> 上的充电量 <math>Q</math>。有
V_{0} = RI + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t} \iff V_{0} = R \dot{Q} + \frac{Q}{C}
V_{0} = RI + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t} \iff V_{0} = R \dot{Q} + \frac{Q}{C}
</math>
</math>
|{{EquationRef|8}}}}
|{{EquationRef|9}}}}
将式{{EquationNote|(9)}} 中的 <math>\dot{Q}</math> 整理至等式左边，就得到了
Q(t) = V_{0}C + Ke^{-t/RC},
Q(t) = V_{0}C + Ke^{-t/RC},
</math>
</math>
|{{EquationRef|9}}}}
|{{EquationRef|10}}}}
如果要求初始时刻电容器上电荷为零，即 <math>Q(0) = 0</math>，则有 <math>K = -V_{0}C</math>，即
如果要求初始时刻电容器上电荷为零，即 <math>Q(0) = 0</math>，则有 <math>K = -V_{0}C</math>，即
{{NumBlk|:|
{{NumBlk|:|
Q(t) = V_{0}C(1 - e^{-t/RC}),
Q(t) = V_{0}C(1 - e^{-t/RC}),
</math>
</math>
|{{EquationRef|10}}}}
|{{EquationRef|11}}}}
相应地，也能得到电容器的[[稳态电压]] <math>V_{C}(\infty)</math> 为 <math>V_{0}C</math>，输出电压随时间变化规律为
相应地，也能得到电容器的[[稳态电压]] <math>V_{C}(\infty)</math> 为 <math>V_{0}C</math>，输出电压随时间变化规律为
<math>
<math>
===相图视角===
===相图视角===
公式{{EquationNote|(8)}}对应着写成下面的形式：
公式{{EquationNote|(6)}}对应着如下图所示的RC串联电路系统相图，可见相图中为一截距为正，斜率为负的直线，有一个[[稳定不动点]] <math>Q = V_{0}C</math>。另外，从该函数也可明显的看出上面的结论：当电容初始电量为零时，依该函数，其电量会一直增长，无限趋于[[稳定不动点]]。
[[File:微信图片_20251231123651_61031_78.png|250px|thumb|none|RC 电路系统的相图。横轴为电容器的电量<math>Q</math>，纵轴为电容器电量的变化率<math>\dot{Q}</math>。该系统的相图为一斜率为负的直线，和横轴的交点为 <math>Q=V_0 C</math>，即为系统的稳定不动点。]]
[[File:微信图片_20251231123651_61031_78.png|250px|thumb|none|RC 电路系统的相图。横轴为电容器的电量<math>Q</math>，纵轴为电容器电量的变化率<math>\dot{Q}</math>。该系统的相图为一斜率为负的直线，和横轴的交点为 <math>Q=V_0 C</math>，即为系统的稳定不动点。]]
==企业生长模型==
==企业生长模型==