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==残差DMD==

==残差DMD==

 

扩展DMD允许我们用各种各样的非线性函数做观测函数，并且最终能估计出Koopman算子的特征值和特征函数，但这样估算出来的特征值谱容易面临[[谱污染]]的问题。所谓谱污染，便是指算出来的特征值有可能是虚假的特征值。原本特征值谱告诉我们的是，动力系统里有哪些增长、衰减或振荡的模式，而虚假的特征值对应着动力系统里并不真实存在的模式，是虚假的规律。为此，我们有了[[伪特征值]]（Pseudo-eigenvalues）这样的概念。[[伪特征值]]指的是当使用有限维矩阵近似来表示无限维 Koopman 算子 <math>\mathcal{K}</math> 时，所计算出的[[特征值]] <math>\lambda</math> 有可能并不属于真实 Koopman 算子的谱 <math>\sigma(\mathcal{K})</math>。

扩展DMD允许我们用各种各样的非线性函数做观测函数，并且最终能估计出Koopman算子的特征值和特征函数，但这样估算出来的特征值谱容易面临[[谱污染]]的问题。所谓谱污染，便是指算出来的特征值有可能是虚假的特征值。原本特征值谱告诉我们的是，动力系统里有哪些增长、衰减或振荡的模式，而虚假的特征值对应着动力系统里并不真实存在的模式，是虚假的规律。为此，我们有了[[伪特征值]]（Pseudo-eigenvalues）这样的概念。[[伪特征值]]指的是当使用有限维矩阵近似来表示无限维 Koopman 算子 <math>\mathcal{K}</math> 时，所计算出的[[特征值]] <math>\lambda</math> 有可能并不属于真实 Koopman 算子的谱 <math>\sigma(\mathcal{K})</math>。

残差动态[[模式分解]]（ResDMD<ref name=Colbrook_2023 /><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref> 通过清晰地呈现特征值偏离真实系统的残差，有效区分真实[[特征值]]与虚假的特征值，解决了一般算法下因有限维假设和离散化误差导致的谱污染问题，详情请查阅[[残差DMD]]。

残差动态[[模式分解]]（ResDMD<ref name=Colbrook_2023 /><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref> 通过清晰地呈现特征值偏离真实系统的残差，有效区分真实[[特征值]]与虚假的特征值，解决了一般算法下因有限维假设和离散化误差导致的谱污染问题，详情请查阅[[残差DMD]]。

'''输出：'''残差小于阈值的<math>\epsilon</math>-伪谱<math>\{(\lambda_j,  \varphi_j) \mid \text{res}(\lambda_j,  \varphi_j) \leq \epsilon\}</math>

'''输出：'''残差小于阈值的<math>\epsilon</math>-伪谱<math>\{(\lambda_j,  \varphi_j) \mid \text{res}(\lambda_j,  \varphi_j) \leq \epsilon\}</math>

下面是关于算法中涉及的概念和符号的介绍。

下面是关于算法中涉及的概念和符号的介绍。