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=====空间幂律=====

=====空间幂律=====

由上述三种引入的机制和[[匹配]]生长规则，我们便可以模拟一座城市的生长，包括道路网络的生长和社会交互活动的分布。而且，该文章可以从理论上推导出，活跃人口、道路网络和社会经济互动三大要素的空间分布满足如下关系：

由上述三种引入的机制和[[匹配生长]]规则，我们便可以模拟一座城市的生长，包括道路网络的生长和社会交互活动的增加。而且，该模型可以从理论上推导出：活跃人口、道路网络和社会经济互动三大要素的空间分布满足如下关系：

活跃人口密度随中心距离衰减满足幂律：

活跃人口密度随中心距离衰减满足幂律：

[math]\displaystyle{ \rho(r,t) \propto r^{-\beta} }[/math]

:<math>

\rho(r,t) \propto r^{-\beta}  

</math>

进一步积分得到累积人口：

进一步积分得到累积人口：

[math]\displaystyle{ P(r,t) \propto r^{2-\beta} }[/math]

:<math>

P(r,t) \propto r^{2-\beta}  

</math>

这里，<math>P(r,t)</math>是到第t步的时候，半径r内的总活跃人口数。其中<math>\beta</math>为一个与常数<math>C</math>相关的参数。我们可以利用某城市的活跃人口分布数据拟合估计出<math>\beta</math>的取值，这一取值也直接决定了其他两种要素的空间分布。

这里，<math>P(r,t)</math>是到第 <math>t</math> 步的时候，半径 <math>r</math> 内的总活跃人口数。其中 <math>\beta</math> 为一个与常数 <math>C</math> 相关的参数。我们可以利用某城市的活跃人口分布数据拟合估计出 <math>\beta</math> 的取值，这一取值也直接决定了其他两种要素的空间分布。

[math]\displaystyle{ L(r,t) \propto r^{2-\beta/2} }[/math]

:<math>

L(r,t) \propto r^{2-\beta/2}

G(r,t) \propto r^{2-3\beta/2}

</math>

可以看到，它们的累积量都会与 <math>r</math> 呈现出幂律的规律，而且幂指数虽然各不相同，但是都与活跃人口的空间指数[math]\beta[/math]有关。

 

可以看到，它们的累积量都会与<math>r</math>呈现出幂律的规律，而且幂指数虽然各不相同，但是都与活跃人口的空间指数[math]\beta[/math]有关。

这些空间规模法则（Spatial Scaling）都得到了实证数据的验证，如下图：

这些空间规模法则（Spatial Scaling）都得到了实证数据的验证，如下图：

[[文件:Spatial scaling.png|缩略图|无|600px|两个城市的空间规模法则的实证数据验证。a图为伦敦，b图为北京的结果。伦敦和北京的活跃人口的空间规模法则幂指数分别为 1.70 和 1.91，它们是通过对 a、b 进行线性回归估计得到的。然后，根据公式[math]P(r,t)\propto r^{2-\beta}[/math]，可以估计出伦敦的 [math]\beta = 0.30[/math]、北京的[math]\beta = 0.09[/math]。根据理论，由夜间灯光捕捉到的道路长度和社会经济相互作用的指数可以预测为 [math]2 − \beta/2 = 1.85（1.95）[/math]和[math] 2 − 3\beta/2 = 1.55（1.86）[/math]（伦敦在前，北京在后），这与经验结果非常接近——通过线性回归得到的伦敦道路长度和社会经济相互作用的指数及其标准差分别为 1.85（标准差 0.00800）和 1.66（标准差 0.0118）；北京则分别为 1.95（标准差 0.0164）和 1.74（标准差 0.0105）。]]

[[文件:Spatial scaling.png|缩略图|无|700px|两个城市的空间规模法则的实证数据验证。a图为伦敦，b图为北京的结果。伦敦和北京的活跃人口的空间规模法则幂指数分别为 1.70 和 1.91，它们是通过对数据进行线性回归估计得到的。然后，根据公式[math]P(r,t)\propto r^{2-\beta}[/math]，可以估计出伦敦的 [math]\beta = 0.30[/math]、北京的[math]\beta = 0.09[/math]。根据理论，由夜间灯光捕捉到的道路长度和社会经济相互作用的指数可以预测为 [math]2 − \beta/2 = 1.85（1.95）[/math]和[math] 2 − 3\beta/2 = 1.55（1.86）[/math]（伦敦在前，北京在后），这与经验结果非常接近——通过线性回归得到的伦敦道路长度和社会经济相互作用的指数及其标准差分别为 1.85（标准差 0.00800）和 1.66（标准差 0.0118）；北京则分别为 1.95（标准差 0.0164）和 1.74（标准差 0.0105）。]]

=====规模法则=====

=====规模法则=====