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→标准型和性质
* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x^2 - e^x</math>，<math>x</math>的取值范围为应为[[不动点]](<math>x=x^*</math>)的邻域，即<math>-\varepsilon <x<\varepsilon </math>，<math>r</math>的取值范围应为[[临界点]]<math>r=r_c</math>的邻域，即<math>-\delta <r<\delta </math>，否则无法忽略高阶项。
* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x^2 - e^x</math>，<math>x</math>的取值范围为应为[[不动点]](<math>x=x^*</math>)的邻域，即<math>-\varepsilon <x<\varepsilon </math>，<math>r</math>的取值范围应为[[临界点]]<math>r=r_c</math>的邻域，即<math>-\delta <r<\delta </math>，否则无法忽略高阶项。
鞍结点分岔的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的[[稳定状态]]不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半[[稳定不动点]]，最终出现了两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）。
鞍结点分岔的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的[[稳定状态]]不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）。
==[[不动点]]和稳定性分析==
==[[不动点]]和稳定性分析==
以<math display="block">
以<math display="block">
令<math>f(x)=r-x^2</math>，令<math>f(x)=0</math>，此时<math>r</math>的范围在<math>\left [ 0,+ \infty \right ) </math>时，解<math>x^*=\pm \sqrt{r}</math>有实际意义。当<math>r<0</math>时，没有[[不动点]]；当<math>r=0</math>时，有一个[[不动点]]；当<math>r>0</math>时，有两个[[不动点]]。
令<math>f(x)=r-x^2</math>，令<math>f(x)=0</math>，此时<math>r</math>的范围在<math>\left [ 0,+ \infty \right ) </math>时，解<math>x^*=\pm \sqrt{r}</math>有实际意义。当<math>r<0</math>时，没有[[不动点]]；当<math>r=0</math>时，有一个[[不动点]]；当<math>r>0</math>时，有两个[[不动点]]。
===[[不动点]]稳定性分析===
===[[不动点]]稳定性分析===
<math>f'(x^*)=-2x^*</math>。当<math>r>0</math>时，<math>x^*=\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)<0</math>，是[[稳定不动点]]；<math>x^*=-\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)>0</math>，是不[[稳定不动点]]。<math>r=0</math>为[[分岔]]点，有<math>f'(x^*)=0</math>
<math>f'(x^*)=-2x^*</math>。当<math>r>0</math>时，<math>x^*=\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)<0</math>，是稳定[[不动点]]；<math>x^*=-\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)>0</math>，是不稳定[[不动点]]。<math>r=0</math>为[[分岔]]点，有<math>f'(x^*)=0</math>
==[[相图]]与[[分岔]]图==
==相图与分岔图==
对于<math display="block">
对于<math display="block">
</math>
</math>
[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为[[稳定不动点]]，空心点为不[[稳定不动点]]，半空心点为[[临界]]半稳定不动点，箭头为演化方向。
[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为稳定[[不动点]]，空心点为不稳定[[不动点]]，半空心点为[[临界]]半稳定不动点，箭头为演化方向。
[[File:Phase Portrait for Saddle-Node Bifurcation 1.png|800px]]
[[File:Phase Portrait for Saddle-Node Bifurcation 1.png|800px]]
\dot{x} = r - x^2
\dot{x} = r - x^2
</math>
</math>
[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为[[稳定不动点]]，空心点为不[[稳定不动点]]，半空心点为[[临界]]半稳定不动点，箭头为演化方向。
[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为稳定[[不动点]]，空心点为不稳定[[不动点]]，半空心点为[[临界]]半稳定不动点，箭头为演化方向。
[[File:Phase Portrait for Saddle-Node Bifurcation 2.png|800px|]]
[[File:Phase Portrait for Saddle-Node Bifurcation 2.png|800px|]]