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鞍结点分岔 (查看源代码)

2026年3月11日 (三) 22:40的版本

添加28字节、 2026年3月11日 (星期三)

→‎不动点和稳定性分析

第27行：第27行：

</math>

为例

−

===[[不动点]]判断===

+

===求解[[不动点]]===

−

令<math>f(x)=r-x^2</math>，令<math>f(x)=0</math>，当<math>r<0</math>时，<math>x^*</math>无解，也就没有[[不动点]]；<math>r</math>的范围在<math>\left [ 0,+ \infty \right ) </math>时，解<math>x^*=\pm \sqrt{r}</math>~~有实际意义。当~~<math>r=0</math>时，有一个[[不动点]]；当<math>r>0</math>时，有两个[[不动点]]。

+

令<math>\dot{x}=f(x)=r-x^2</math>，不动点意味着变化率为0，即<math>f(x)=0</math>。

+

* 当<math>r<0</math>时，<math>x^*</math>无解，也就没有[[不动点]]。

+

* <math>r</math>的范围在<math>\left [ 0,+ \infty \right ) </math>时，解<math>x^*=\pm \sqrt{r}</math>有实际意义。

+

** 当<math>r=0</math>时，有一个[[不动点]]<math>x^*=0</math>

+

** 当<math>r>0</math>时，有两个[[不动点]]。<math>x^*=\pm \sqrt{r}</math>

===[[不动点]]稳定性分析===

−

+

需要通过计算系统的雅可比矩阵（在一维情况下即为一阶导数）来判断局部稳定性，因此有<math>f'(x^*)=-2x^*</math>。

+

当<math>r>0</math>时，

+

* 分支<math>x^*=\sqrt{r}</math>，有特征值<math>f'(x^*)=-2r<0</math>，微小扰动会不断衰减，是稳定[[不动点]]；

+

* 分支<math>x^*=-\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)=2r>0</math>，微小扰动会被放大，是不稳定[[不动点]]。

+

当 <math>r=0</math>，有<math>f'(x^*)=0</math>，此处为[[分岔]]点。

===[[相图]]与[[分岔]]图===

第48行：第56行：

[[分岔]]图则展示系统不动点<math>x^*</math>的数量和性质与参数<math>r</math>的关系。

−

* <math>r<0</math>时没有不动点

−

* <math>r=0</math>时有一个半稳定不动点

−

* <math>r>0</math>时，r的每个取值都对应着一个稳定不动点和一个不稳定不动点，反映到图像上就是这样的曲线。其中实线代表稳定不动点，虚线代表不稳定不动点。

[[File:分岔图：鞍节点分岔标准型-1.png|500px]]

刘子豪

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