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|description=是一个在相空间中的闭合轨迹，它具有当时间趋于无穷大或时间趋于负无穷大时至少有一条其他轨迹螺旋进入的性质。

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[[Image:VanDerPolPhaseSpace.png|right|250px|thumb|'''<font color="#ff8000">范德波尔振荡器 Van der Pol oscillator</font>'''的稳定极限环 ]]

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极限环（Limit Cycle）是非线性动力系统中的重要概念，用于描述系统在长期演化过程中所呈现的周期性行为。当系统的轨道不收敛于平衡点，而是趋于一条闭合曲线时，即形成周期运动。在本文中，主要讨论二维自治系统（二维相空间）中的极限环。在这一情形下，极限环可以理解为相平面中的一条孤立闭轨道，即在该闭轨道的邻域内不存在其他周期轨道。该概念最早由 Henri Poincaré 提出，是微分方程定性理论的重要组成部分，并在分析二维系统的长期行为中具有核心作用。后续内容将基于二维相空间的框架，介绍极限环的定义、性质及其判定方法以及相关应用。

极限环（Limit Cycle）是非线性动力系统中的重要概念，用于描述系统在长期演化过程中所呈现的周期性行为。当系统的轨道不收敛于平衡点，而是趋于一条闭合曲线时，即形成周期运动。在本文中，主要讨论二维自治系统（二维相空间）中的极限环。在这一情形下，极限环可以理解为相平面中的一条孤立闭轨道，即在该闭轨道的邻域内不存在其他周期轨道。该概念最早由 Henri Poincaré 提出，是微分方程定性理论的重要组成部分，并在分析二维系统的长期行为中具有核心作用。后续内容将基于二维相空间的框架，介绍极限环的定义、性质及其判定方法以及相关应用。

在二维系统中，上述定义等价于将极限环视为孤立的周期轨道。

在二维系统中，上述定义等价于将极限环视为孤立的周期轨道。

=== 几何解释 ===

=== 几何解释 ===

稳定极限环是吸引子（attractor）的一个例子。它对应于自我维持的振荡（oscillation）：闭轨道描述了系统的周期行为，而任何偏离该轨道的微小扰动都会使系统重新回到该极限环上。

稳定极限环是吸引子（attractor）的一个例子。它对应于自我维持的振荡（oscillation）：闭轨道描述了系统的周期行为，而任何偏离该轨道的微小扰动都会使系统重新回到该极限环上。

[[文件:极限环类型.png|none|缩略图|稳定，不稳定与半稳定极限环，引自]]

[[文件:极限环类型.png|none|缩略图|稳定，不稳定与半稳定极限环，引自<ref name="Strogatz" />]]

== 待解决的问题 ==

== 待解决的问题 ==