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Pedro A. M. Mediano 和 Fernando E. Rosas等人在2022年的一篇中综述了基于信息分解框架的因果涌现形式化理论。在这一理论框架中PID中的信息原子被用于刻画系统出现因果涌现的条件和系统总涌现的能力。

Pedro A. M. Mediano 和 Fernando E. Rosas等人在2022年的一篇中综述了基于信息分解框架的因果涌现形式化理论。在这一理论框架中PID中的信息原子被用于刻画系统出现因果涌现的条件和系统总涌现的能力。

综述中介绍的理论指出，系统出现k阶因果涌现的当且仅当\mathrm{Syn}^{(k)}(X_t,X_{t'})>0，其中\mathrm{Syn}^{(k)}是由协同信息定义的整体系统而非k个及以下的部分提供的关于系统未来演化的信息，同时，在这一理论框架中，系统涌现能力=\mathcal{D}^{(k)}+\mathcal{G}^{(k)},其中\mathcal{D}^{(k)}为向下因果,\mathcal{G}^{(k)}为因果解耦。

综述中介绍的理论指出，系统出现k阶因果涌现的当且仅当<math>\mathrm{Syn}^{(k)}(X_t,X_{t'})>0</math>，其中<math>\mathrm{Syn}^{(k)}</math>是由协同信息定义的整体系统而非k个及以下的部分提供的关于系统未来演化的信息，同时，在这一理论框架中，系统涌现能力<math>=\mathcal{D}^{(k)}+\mathcal{G}^{(k)}</math>,其中<math>\mathcal{D}^{(k)}</math>为向下因果,<math>\mathcal{G}^{(k)}</math>为因果解耦。

图：信息分解冗余格中向下因果与因果解耦的部分)

图：信息分解冗余格中向下因果与因果解耦的部分)

\mathcal{D}^{(k)}与\mathcal{G}^{(k)}分别由PID框架中的独特信息原子刻画，其中\mathcal{D}^{k} =\mathrm{Un}^{(k)}(V_t;X_{t'}^{a}|X_{t})

<math>\mathcal{D}^{(k)}与\mathcal{G}^{(k)}</math>分别由PID框架中的独特信息原子刻画，其中<math>\mathcal{D}^{k} =\mathrm{Un}^{(k)}(V_t;X_{t'}^{a}|X_{t})</math>

\mathcal{G}^{(k)} = \mathrm{Un}^{(k)}(V_t;V_{t'}|X_{t},X_{t'})

<math>\mathcal{G}^{(k)} = \mathrm{Un}^{(k)}(V_t;V_{t'}|X_{t},X_{t'})</math>