更改

Barnett & Seth 的动力学解耦文章中<ref name=":26" /> 把宏观变量定义为确定性粗粒化 <math>Y_t=f(X_t)</math>，实际上用到了平稳分布加权平均。如果我们额外假设微观过程 <math>X_t</math> 是有限状态一阶 Markov 链，且忽略或不显式保留 <math>Y</math> 的历史依赖，那么宏观块 <math>M</math> 的出流应按组内微观状态在平稳分布下的条件概率加权：<math>P'_{MN}=\sum_{i\in M} \frac{\pi_i}{\sum_{k\in M}\pi_k} \sum_{j\in N}P_{ij}</math>。因此，在这些附加假设下，它可以归为平稳分布加权聚合。

Barnett & Seth 的动力学解耦文章中<ref name=":26" /> 把宏观变量定义为确定性粗粒化 <math>Y_t=f(X_t)</math>，实际上用到了平稳分布加权平均。如果我们额外假设微观过程 <math>X_t</math> 是有限状态一阶 Markov 链，且忽略或不显式保留 <math>Y</math> 的历史依赖，那么宏观块 <math>M</math> 的出流应按组内微观状态在平稳分布下的条件概率加权：<math>P'_{MN}=\sum_{i\in M} \frac{\pi_i}{\sum_{k\in M}\pi_k} \sum_{j\in N}P_{ij}</math>。因此，在这些附加假设下，它可以归为平稳分布加权聚合。

=复杂网络中的粗粒化方法=

=复杂网络中的[[粗粒化]]方法=

其次，许多复杂网络上都可以定义随机游走、扩散或传播动力学。一旦规定游走规则，网络就会诱导出一个转移概率矩阵 <math>P</math>，也就是一条马尔科夫链。于是，复杂网络的粗粒化可以转化为马尔科夫链的状态粗粒化：我们不仅关心哪些节点拓扑上相近，也关心哪些节点在随机游走中具有相似的动力学作用。在这个意义上，成块性可以检验合并后的宏观节点是否仍然形成封闭马尔科夫链；稳态流矩阵可以刻画长期概率流通道；谱方法可以寻找扩散尺度上的相似节点；HOM 则可以在节点合并时保留随机游走的高阶路径依赖。因此，马尔科夫链粗粒化工具可以反过来用于复杂网络上的随机游走动力学压缩。

其次，许多复杂网络上都可以定义随机游走、扩散或传播动力学。一旦规定游走规则，网络就会诱导出一个[[转移概率矩阵]] <math>P</math>，也就是一条马尔科夫链。于是，复杂网络的粗粒化可以转化为马尔科夫链的状态粗粒化：我们不仅关心哪些节点拓扑上相近，也关心哪些节点在随机游走中具有相似的动力学作用。在这个意义上，成块性可以检验合并后的宏观节点是否仍然形成封闭马尔科夫链；稳态流矩阵可以刻画长期概率流通道；谱方法可以寻找扩散尺度上的相似节点；HOM 则可以在节点合并时保留随机游走的高阶路径依赖。因此，马尔科夫链粗粒化工具可以反过来用于复杂网络上的随机游走动力学压缩。

假设游走子在每一步都会按照边权来进行转移，这种节点间的转移动力学可以用马尔科夫链表示。马尔科夫链的状态对应着复杂网络上的节点，而转移概率对应着网络节点之间的连边权重。

假设游走子在每一步都会按照边权来进行转移，这种节点间的转移动力学可以用马尔科夫链表示。马尔科夫链的状态对应着复杂网络上的节点，而转移概率对应着网络节点之间的连边权重。

考虑一个连通图 <math>G</math>，邻接矩阵为 <math>A</math>，假设图上有 <math>N</math> 个节点，分别为 <math>1,2,...,N</math>，我们定义从节点 <math>i\in\left\{1,2,...,N\right\}</math> 到节点 <math>j\in\left\{1,2,...,N\right\}</math> 的转移概率为 <math>w_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j}a_{ij}}</math>（即对边权进行行归一化），其中 <math>a_{ij}</math> 表示邻接矩阵的第 <math>i</math> 行第 <math>j</math> 列元素，对应从节点 <math>i</math> 到节点 <math>j</math> 的边的权重。

考虑一个连通图 <math>G</math>，[[邻接矩阵]]为 <math>A</math>，假设图上有 <math>N</math> 个节点，分别为 <math>1,2,...,N</math>，我们定义从节点 <math>i\in\left\{1,2,...,N\right\}</math> 到节点 <math>j\in\left\{1,2,...,N\right\}</math> 的转移概率为 <math>w_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j}a_{ij}}</math>（即对边权进行行归一化），其中 <math>a_{ij}</math> 表示邻接矩阵的第 <math>i</math> 行第 <math>j</math> 列元素，对应从节点 <math>i</math> 到节点 <math>j</math> 的边的权重。

由于该网络是连通图，所以分母 <math>\sum_{j}a_{ij}</math> 会大于<math>0</math>，而且满足行归一化，即 <math>\sum_{j=1}^N {w_{ij}}=1</math>。这样我们就定义了一个马尔科夫链，状态空间为 <math>\left\{1,2,...,N\right\}</math>，从状态 <math>i</math> 到状态 <math>j</math> 的转移概率为 <math>w_{ij}</math>，转移矩阵为 <math>W=\left\{w_{ij}\right\}_{N \times N}</math>（详情请见[[复杂网络中的因果涌现]]词条）。

由于该网络是连通图，所以分母 <math>\sum_{j}a_{ij}</math> 会大于<math>0</math>，而且满足行归一化，即 <math>\sum_{j=1}^N {w_{ij}}=1</math>。这样我们就定义了一个马尔科夫链，[[状态空间]]为 <math>\left\{1,2,...,N\right\}</math>，从状态 <math>i</math> 到状态 <math>j</math> 的转移概率为 <math>w_{ij}</math>，转移矩阵为 <math>W=\left\{w_{ij}\right\}_{N \times N}</math>（详情请见[[复杂网络中的因果涌现]]词条）。

为了对网络的随机游走矩阵 <math>W_{ij} = \frac{A_{ij}}{\sum_k A_{kj}}</math> 进行降维与简化，研究者提出了一种基于谱理论的粗粒化方法<ref>Gfeller D, De Los Rios P. Spectral coarse graining of complex networks[J]. Physical review letters, 2007, 99(3): 038701.</ref>。这里采用的是'''列归一化写法'''：每一列的和为 1，因此指标 <math>j</math> 表示出发节点，<math>i</math> 表示到达节点。该方法的核心在于选取随机矩阵前 <math>S</math> 个最大非平凡特征值 <math>\lambda^2, \lambda^3, \ldots, \lambda^{S+1}</math> 对应的左特征向量 <math>\langle u^2 |, \langle u^3 |, \ldots, \langle u^{S+1} |</math>，将网络节点映射到这些特征向量张成的特征空间。在此基础上，将每个特征向量的值域划分为 <math>I</math> 个区间，在所有 <math>S</math> 个特征向量上都落入相同区间的节点会被合并为一个超级节点。

为了对网络的随机游走矩阵 <math>W_{ij} = \frac{A_{ij}}{\sum_k A_{kj}}</math> 进行降维与简化，研究者提出了一种基于谱理论的粗粒化方法<ref>Gfeller D, De Los Rios P. Spectral coarse graining of complex networks[J]. Physical review letters, 2007, 99(3): 038701.</ref>。这里采用的是'''列归一化写法'''：每一列的和为 1，因此指标 <math>j</math> 表示出发节点，<math>i</math> 表示到达节点。该方法的核心在于选取随机矩阵前 <math>S</math> 个最大非平凡[[特征值]] <math>\lambda^2, \lambda^3, \ldots, \lambda^{S+1}</math> 对应的左[[特征向量]] <math>\langle u^2 |, \langle u^3 |, \ldots, \langle u^{S+1} |</math>，将网络节点映射到这些特征向量张成的特征空间。在此基础上，将每个特征向量的值域划分为 <math>I</math> 个区间，在所有 <math>S</math> 个特征向量上都落入相同区间的节点会被合并为一个超级节点。

从概率角度看，这一粗粒化过程可以理解为：新超级节点的出边概率由原节点的出边概率加权平均得到，其流入概率则由原节点的流入概率直接相加，其他未合并节点的转移概率保持不变。

从概率角度看，这一粗粒化过程可以理解为：新超级节点的出边概率由原节点的出边概率加权平均得到，其流入概率则由原节点的流入概率直接相加，其他未合并节点的转移概率保持不变。

===结合统计物理与机器学习的网络流方法===

===结合统计物理与机器学习的网络流方法===

我们用扩散方程 <math>\frac{d\psi}{d\tau}=-L\psi</math> 来描述网络的扩散过程，其中拉普拉斯矩阵 <math>L=D-A</math> 描述网络的拓扑结构，<math>A</math> 是邻接矩阵，<math>D</math> 是度矩阵。扩散方程的解为 <math>\psi_{\tau}=e^{-\tau L}\psi_0</math>，体现了信息随时间的演化，其中 <math>e^{-\tau L}</math> 为时间演化算子，<math>[e^{-\tau L}]_{ij}</math> 表示经过时间 <math>\tau</math> 后从节点 <math>j</math> 到节点 <math>i</math> 的流量。

我们用扩散方程 <math>\frac{d\psi}{d\tau}=-L\psi</math> 来描述网络的扩散过程，其中[[拉普拉斯矩阵]] <math>L=D-A</math> 描述网络的拓扑结构，<math>A</math> 是邻接矩阵，<math>D</math> 是[[度矩阵]]。扩散方程的解为 <math>\psi_{\tau}=e^{-\tau L}\psi_0</math>，体现了信息随时间的演化，其中 <math>e^{-\tau L}</math> 为时间演化算子，<math>[e^{-\tau L}]_{ij}</math> 表示经过时间 <math>\tau</math> 后从节点 <math>j</math> 到节点 <math>i</math> 的流量。

利用配分函数 <math>Z_{\tau}=Tr(e^{-\tau L})</math>，我们能量化矩阵的全局信息量。矩阵 <math>e^{-\tau L}</math> 的每个对角元 <math>[e^{-\tau L}]_{ii}</math> 是第 <math>i</math> 个节点的信息保留量，对所有对角元求和则能得到所有节点的信息保留量。

利用[[配分函数]] <math>Z_{\tau}=Tr(e^{-\tau L})</math>，我们能量化矩阵的全局信息量。矩阵 <math>e^{-\tau L}</math> 的每个对角元 <math>[e^{-\tau L}]_{ii}</math> 是第 <math>i</math> 个节点的信息保留量，对所有对角元求和则能得到所有节点的信息保留量。

通过图神经网络（GNN）的消息传递机制，得到每个节点的向量表征，对节点向量应用Softmax函数，得到分组矩阵 <math>S_{N\times M}</math>，其中元素 <math>s_{ij}</math> 表示节点 <math>i</math> 分到第 <math>j</math> 个超级节点的概率。

通过[[图神经网络]]（GNN）的[[消息传递]]机制，得到每个节点的向量表征，对节点向量应用[[Softmax]]函数，得到分组矩阵 <math>S_{N\times M}</math>，其中元素 <math>s_{ij}</math> 表示节点 <math>i</math> 分到第 <math>j</math> 个超级节点的概率。

通过 <math>\hat{A}=\frac{M}{N}S^{T}AS</math> 得到宏观邻接矩阵 <math>\hat{A}_{M\times M}</math>，其中 <math>A_{N\times N}</math> 原始网络的邻接矩阵。归一化配分函数 <math>\frac{Z}{N}</math> 的平均绝对误差（MAE）作为训练图神经网络的损失函数，通过梯度下降优化GNN的参数。

通过 <math>\hat{A}=\frac{M}{N}S^{T}AS</math> 得到[[宏观邻接矩阵]] <math>\hat{A}_{M\times M}</math>，其中 <math>A_{N\times N}</math> 原始网络的邻接矩阵。归一化配分函数 <math>\frac{Z}{N}</math> 的[[平均绝对误差]]（MAE）作为训练图神经网络的损失函数，通过[[梯度下降]]优化GNN的参数。

网络规模从 <math>N</math> 压缩到 <math>N^{'}</math> 后，得到新的拉普拉斯矩阵 <math>L^{'}</math> 和配分函数 <math>Z^{'}</math>，原始网络和压缩后的网络的配分函数的关系是 <math>Z=\gamma Z^{'}</math>，并且压缩后的配分函数和原始网络的配分函数要尽可能相似，不随时间变化而且误差最小。当 <math>\tau=0</math> 时，<math>Z=N,Z^{'}=N^{'}</math>，为了使之成立，<math>\gamma=\frac{N}{N^{'}}</math>，所以乘数的有效值为 <math>\frac{N}{N^{'}}</math><ref>Zhang, Zhang, et al. "Coarse-graining network flow through statistical physics and machine learning." Nature Communications 16.1 (2025): 1605.</ref>。

网络规模从 <math>N</math> 压缩到 <math>N^{'}</math> 后，得到新的拉普拉斯矩阵 <math>L^{'}</math> 和配分函数 <math>Z^{'}</math>，原始网络和压缩后的网络的配分函数的关系是 <math>Z=\gamma Z^{'}</math>，并且压缩后的配分函数和原始网络的配分函数要尽可能相似，不随时间变化而且误差最小。当 <math>\tau=0</math> 时，<math>Z=N,Z^{'}=N^{'}</math>，为了使之成立，<math>\gamma=\frac{N}{N^{'}}</math>，所以乘数的有效值为 <math>\frac{N}{N^{'}}</math><ref>Zhang, Zhang, et al. "Coarse-graining network flow through statistical physics and machine learning." Nature Communications 16.1 (2025): 1605.</ref>。

马尔科夫链是描述状态仅依赖当前状态的随机过程，通过拉普拉斯矩阵与转移概率的关系，将上述方法应用到马尔科夫链中，在离散时间马尔科夫链中，转移概率矩阵为 <math>P</math>；在连续时间马尔科夫链中，<math>P(t)=e^{-tL}</math> 是经过时间 <math>t</math> 的转移概率矩阵。配分函数 <math>Z_t=Tr(e^{-tL})</math> 可以理解为马尔科夫链的所有状态的信息保留总和。

马尔科夫链是描述状态仅依赖当前状态的随机过程，通过拉普拉斯矩阵与转移概率的关系，将上述方法应用到马尔科夫链中，在[[离散时间马尔科夫链]]中，转移概率矩阵为 <math>P</math>；在[[连续时间马尔科夫链]]中，<math>P(t)=e^{-tL}</math> 是经过时间 <math>t</math> 的转移概率矩阵。配分函数 <math>Z_t=Tr(e^{-tL})</math> 可以理解为马尔科夫链的所有状态的信息保留总和。

进行稳态分析的时候，当 <math>t\rightarrow \infty</math> 时，<math>e^{-tL}</math> 的极限与稳态分布有关，配分函数的渐近行为反映链的长期信息保留特性。通过分析 <math>e^{-tL}</math> 的特征向量来识别马尔科夫链的状态聚类。

进行稳态分析的时候，当 <math>t\rightarrow \infty</math> 时，<math>e^{-tL}</math> 的极限与[[稳态分布]]有关，配分函数的渐近行为反映链的长期信息保留特性。通过分析 <math>e^{-tL}</math> 的特征向量来识别马尔科夫链的状态聚类。

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最大化 S 倾向于选择“高频出现、内部节点多且混合节点少” 的 CGU。

最大化 S 倾向于选择“高频出现、内部节点多且混合节点少” 的 CGU。

采用模拟退火法寻找粗粒化最优的 CGU 集合，仅以网络模体（在原始网络中出现频率显著高于随机网络的子图）作为候选 CGU。

采用[[模拟退火]]法寻找粗粒化最优的 CGU 集合，仅以网络模体（在原始网络中出现频率显著高于随机网络的子图）作为候选 CGU。

候选CGU的获取方式：先检测 3-6 节点的所有网络模体，再根据每个模体出现的连接特征向量，同一模体不同特征向量的出现视为不同 CGU 候选。

候选CGU的获取方式：先检测 3-6 节点的所有网络模体，再根据每个模体出现的连接特征向量，同一模体不同特征向量的出现视为不同 CGU 候选。