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→稳态分布下的随机动力学划分
当我们观察马尔科夫链的一个具体样本时，其在每一步都处于某个'''确定状态'''。而所谓状态分布，是指给定初始分布 <math>\mu</math> 后，系统在 <math>t</math> 时刻落在各个状态的概率。若存在分布 <math>\pi</math> 满足 <math>\pi P = \pi</math>，则称其为'''稳态分布'''。它表示系统在到达稳态后，再继续演化，整体分布会保持不变。
当我们观察马尔科夫链的一个具体样本时，其在每一步都处于某个'''确定状态'''。而所谓状态分布，是指给定初始分布 <math>\mu</math> 后，系统在 <math>t</math> 时刻落在各个状态的概率。若存在分布 <math>\pi</math> 满足 <math>\pi P = \pi</math>，则称其为'''稳态分布'''。它表示系统在到达稳态后，再继续演化，整体分布会保持不变。
这样，我们就能把马尔科夫链放进'''随机动力系统（Random Dynamical System）'''的框架中来理解。简单来说，随机动力系统由两部分组成：<math>\theta</math> 表示噪声序列随时间的推进，<math>\phi</math> 表示状态在当前噪声作用下的演化规则。对马尔科夫链而言，每一步按 TPM 进行随机选择，就对应着由噪声驱动的演化过程 <math>(\theta,\phi)</math>。
这样，我们就能把马尔科夫链放进'''随机动力系统（Random Dynamical System）'''的框架中来理解（详细的数学公式和证明可参考[[马尔科夫链中的随机动力学]]）。在这个框架里，'''不变性（Invariance）'''是理解稳态分布的关键。稳态分布描述的是'''分布层面'''的不变，而随机吸引子描述的则是'''状态集合层面'''的不变：一个状态集合若要成为随机吸引子，通常需要满足三点：
# '''紧致性 (Compactness)'''：对有限状态马尔科夫链，这一点天然满足；
# '''紧致性 (Compactness)'''：对有限状态马尔科夫链，这一点天然满足；
# '''不变性 (Invariance)'''：系统从 <math>A(\omega)</math> 出发演化后，仍落在下一时刻的吸引子中；
# '''不变性 (Invariance)'''：系统从集合中的状态出发演化后，仍落在下一时刻的吸引子中；
# '''吸引性 (Pullback Attraction)'''：从足够久远的过去出发，系统最终会被拉回到该集合附近。
# '''吸引性 (Pullback Attraction)'''：从足够久远的过去出发，系统最终会被拉回到该集合附近。