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'''[[Floquet 理论]]通过分析极限环附近的线性化系统，给出了任意维度下极限环稳定性的严格定量判据。'''

'''[[Floquet 理论]]通过分析极限环附近的线性化系统，给出了任意维度下极限环稳定性的严格定量判据。'''

设系统存在一条周期为 <math>T</math> 的极限环 <math>\Gamma</math>。对系统在 <math>\Gamma</math> 附近线性化，得到一个以 <math>T</math> 为周期的线性变分方程。该方程在一个完整周期内的基本解矩阵称为'''单值矩阵'''（monodromy matrix），其特征值称为'''Floquet 乘子'''（Floquet multipliers），又称'''特征乘子'''（characteristic multipliers）。<ref name="Chicone">Chicone, C. (2006). ''Ordinary Differential Equations with Applications'' (2nd ed.). Springer.</ref>

设系统存在一条周期为 <math>T</math> 的极限环 <math>\Gamma</math>。对系统在 <math>\Gamma</math> 附近线性化，得到一个以 <math>T</math> 为周期的[[线性变分方程]]。该方程在一个完整周期内的基本解矩阵称为'''[[单值矩阵]]'''（monodromy matrix），其特征值称为'''[[Floquet 乘子]]'''（Floquet multipliers），又称'''特征乘子'''（characteristic multipliers）。<ref name="Chicone">Chicone, C. (2006). ''Ordinary Differential Equations with Applications'' (2nd ed.). Springer.</ref>

对于 <math>n</math> 维系统，单值矩阵共有 <math>n</math> 个 Floquet 乘子。其中沿极限环切方向本身对应一个模恒为 1 的'''平凡乘子'''（trivial multiplier），这是所有连续自治系统极限环的普遍特征，与系统维数无关。去除该平凡乘子后，剩余 <math>n-1</math> 个乘子决定极限环的横截稳定性。

对于 <math>n</math> 维系统，单值矩阵共有 <math>n</math> 个 Floquet 乘子。其中沿极限环切方向本身对应一个模恒为 1 的'''平凡乘子'''（trivial multiplier），这是所有连续自治系统极限环的普遍特征，与系统维数无关。去除该平凡乘子后，剩余 <math>n-1</math> 个乘子决定极限环的横截稳定性。

* 若所有乘子的模均小于 1，则极限环'''渐近稳定'''；

* 若所有乘子的模均小于 1，则极限环'''[[渐近稳定]]'''；

* 若存在模大于 1 的乘子，则极限环'''不稳定'''；

* 若存在模大于 1 的乘子，则极限环'''[[不稳定]]'''；

* 若存在模等于 1 的乘子（且其余均小于 1），则对应稳定性的临界情形，需进一步分析。

* 若存在模等于 1 的乘子（且其余均小于 1），则对应稳定性的临界情形，需进一步分析。