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=== 冗余信息的定义 ===

=== 冗余信息的定义 ===

（为什么在三种信息里面只给出冗余信息的定义见“冗余晶格”小节第二段）

（为什么在三种信息里面只给出冗余信息的定义见“冗余晶格”小节第二段）

令 <math>S_1,\mathbf{S}_{2},\dots ,\mathbf{S}_{n}</math>为 <math>\mathbf{s}</math>的非空且允许重叠的子集，我们称之为源。每个<math>\mathbf{A}_{i}</math>所提供的信息由互信息<math>I(T;\mathbf{A}_{i})</math>给出。然而，关键在于互信息实际上是对随机变量的所有可能结果取的平均或期望信息。因此，两个源可能提供相同的平均信息量，同时却关于<math>T</math>的不同结果提供信息。源<math>\mathbf{A}</math>所提供的信息可写为

令 <math>S_1,S_2,\dots ,S_n</math>为 <math>\mathbf{S}</math>的非空且允许重叠的子集，我们称之为源。每个<math>\S_i</math>所提供的信息由互信息<math>I(T;S_i)</math>给出。然而，关键在于互信息实际上是对随机变量的所有可能结果取的平均或期望信息。因此，两个源可能提供相同的平均信息量，同时却关于<math>T</math>的不同结果提供信息。源<math>\mathbf{S}</math>所提供的信息可写为

\begin{equation}

\begin{equation}

I(T;\mathbf{A})=\sum_{s}p(s)\,I(T=t;\mathbf{A})

I(T;S)=\sum_{t}p(t)\,I(T=t;S)

\end{equation}

\end{equation}

其中特定信息<math>I(T=t;\mathbf{A})</math>量化了与<math>T</math>的某一特定结果 <math>t</math>相关联的信息。下面需要给出其定义：

其中特定信息<math>I(T=t;S)</math>量化了与<math>T</math>的某一特定结果 <math>t</math>相关联的信息。下面需要给出其定义：

\begin{equation}

\begin{equation}

I(T=t;\mathbf{A})=

I(T=t;S)=

\sum_{\mathbf{a}}p(\mathbf{a}|t)

\sum_{S}p(s|t)

\left[\log\frac{1}{p(t)}-\log\frac{1}{p(t|\mathbf{a})}\right]

\left[\log\frac{1}{p(t)}-\log\frac{1}{p(t|s)}\right]

\end{equation}

\end{equation}

项<math>1/p(t)</math>称为<math>t</math>的不确定度(surprise)，项<math>log1/p(t)</math>即<math>t</math>的香农熵。因此 <math>I(T=t;\mathbf{A})</math>表示已知<math>\mathbf{A}</math>中的每个<math>\mathbf{a}</math>后以t为条件下a发生的概率为权重的<math>t</math>加权平均的不确定度减少量。这是一种很自然的定义。例如对特定结果<math>t</math>发生的条件下<math>\mathbf{A}</math>以百分之五十概率取<math>\mathbf{a}_{1}</math>，以百分之五十的概率取<math>\mathbf{a}_{2}</math>，显然可以用这两个取值对<math>t</math>的不确定度减少量加权平均来定义平均不确定度减少量（即<math>I(T=t;\mathbf{A})</math>）。总之，<math>I(T=t;\mathbf{A})</math> 量化 <math>\mathbf{A}</math>关于每个特定结果 <math>t\in T</math>所提供的信息，而<math>I(T;\mathbf{A})</math>则是该量在所有结果上的期望。根据此，一个自然的冗余度量是每个源关于每个结果所提供信息的最小值的期望，即

项<math>1/p(t)</math>称为<math>t</math>的不确定度(surprise)，项<math>log1/p(t)</math>即<math>t</math>的香农熵。因此 <math>I(T=t;S)</math>表示已知<math>\mathbf{A}</math>中的每个<math>\mathbf{a}</math>后以t为条件下a发生的概率为权重的<math>t</math>加权平均的不确定度减少量。这是一种很自然的定义。例如对特定结果<math>t</math>发生的条件下<math>\mathbf{A}</math>以百分之五十概率取<math>\mathbf{a}_{1}</math>，以百分之五十的概率取<math>\mathbf{a}_{2}</math>，显然可以用这两个取值对<math>t</math>的不确定度减少量加权平均来定义平均不确定度减少量（即<math>I(T=t;\mathbf{A})</math>）。总之，<math>I(T=t;\mathbf{A})</math> 量化 <math>\mathbf{A}</math>关于每个特定结果 <math>t\in T</math>所提供的信息，而<math>I(T;\mathbf{A})</math>则是该量在所有结果上的期望。根据此，一个自然的冗余度量是每个源关于每个结果所提供信息的最小值的期望，即

\begin{equation}

\begin{equation}

I_{\min}(T;\{\mathbf{A}_{1},\mathbf{A}_{2},\dots ,\mathbf{A}_{k}\})

I_{\min}(T;\{\mathbf{A}_{1},\mathbf{A}_{2},\dots ,\mathbf{A}_{k}\})