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→冗余晶格
在两源变量的维恩图里我们可以观察到：
在两源变量的维恩图里我们可以观察到：
<math>I(S;R_{1})=Unq(S;R_{1})+Rdn(S;R_{1},R_{2})</math>
<math>I(T;S_{1})=Unq(T;S_{1})+Rdn(T;S_{1},S_{2})</math>
<math>I(S;R_{1},R_{2})=Unq(S;R_{1})+Rdn(S;R_{1},R_{2})+Unq(S;R_{2})+Syn(S;R_{1},R_{2})</math>
<math>I(T;S_{1},S_{2})=Unq(T;S_{1})+Rdn(T;S_{1},S_{2})+Unq(T;S_{2})+Syn(T;S_{1},S_{2})</math>
由于<math>I(S;R_{1})</math>和<math>I(S;R_{2})</math>和<math>I(S;R_{1},R_{2})</math>都是已知的，则我们给定冗余信息，协同信息，特有信息中任何一个的定义都可以唯一确定这个系统，这篇文章选了冗余信息。基于下述三大冗余信息公理可以得到冗余信息的定义。
由于<math>I(T;S_{1})</math>和<math>I(T;S_{2})</math>和<math>I(T;S_{1},S_{2})</math>都是已知的，则我们给定冗余信息，协同信息，特有信息中任何一个的定义都可以唯一确定这个两源变量的系统，这篇文章选了冗余信息。基于下述三大冗余信息公理可以得到冗余信息的定义。
但对于多源变量的情况，其协同信息，特有信息，冗余信息（即部分信息原子）结构十分复杂，难以直接进行分解。因此，我们需要使用冗余晶格来重塑系统的结构以产生一个偏序关系使其可以通过莫比乌斯反演得到类似上一段里的两源变量部分信息分解的关系式，再结合冗余信息的定义得到每个部分信息原子。下面介绍冗余晶格如何产生。
但对于多源变量的情况，其协同信息，特有信息，冗余信息（即部分信息原子）结构十分复杂，难以直接进行分解。因此，我们需要使用冗余晶格来重塑系统的结构以产生一个偏序关系使其可以通过莫比乌斯反演得到类似上一段里的两源变量部分信息分解的关系式，再结合冗余信息的定义得到每个部分信息原子。下面介绍冗余晶格如何产生。
在维恩图中，冗余度可以视为<math>I（S;\mathbf{A}_{i})</math>之间的交集。因此通过集合之间的包含关系，我们可以大大简化冗余度的概念
在维恩图中，冗余度可以视为<math>I（T;S_i)</math>之间的交集。因此通过集合之间的包含关系，我们可以大大简化冗余度的概念
举例而言，考虑两个源<math>\mathbf{A}</math>与<math>\mathbf{B}</math>，且 <math>\mathbf{A}\subseteq\mathbf{B}</math>。
举例而言，考虑两个源<math>\mathbf{A}</math>与<math>\mathbf{B}</math>，且 <math>\mathbf{A}\subseteq\mathbf{B}</math>。
显然，<math>\mathbf{A}</math> 提供的任何信息也被<math> \mathbf{B}</math>提供，因此 <math>\mathbf{A}</math>与<math>\mathbf{B}</math>之间的冗余退化为<math>\mathbf{A}</math>的自冗余：
显然，<math>\mathbf{A}</math> 提供的任何信息也被<math> \mathbf{B}</math>提供，因此 <math>\mathbf{A}</math>与<math>\mathbf{B}</math>之间的冗余退化为<math>\mathbf{A}</math>的自冗余：
推广之，对于任何源集合，若其中某些源是其他源的超集（即这个源包含其他源），则该集合的冗余等价于去掉所有超集后的冗余。因此，<math>I_{\min}</math>的定义域可简化为无源是其他源的超集的那些集合。即：
推广之，对于任何源集合，若其中某些源是其他源的超集（即这个源包含其他源），则该集合的冗余等价于去掉所有超集后的冗余。因此，<math>I_{\min}</math>的定义域可简化为无源是其他源的超集的那些集合。即：
\begin{equation}
\begin{equation}
\mathcal{A}(\mathbf{R})=
\mathcal{A}(S)=
\bigl\{\alpha\in\mathcal{P}_{1}(\mathcal{P}_{1}(\mathbf{R}))
\bigl\{\alpha\in\mathcal{P}_{1}(\mathcal{P}_{1}(S))
\mid \forall\mathbf{A}_{i},\mathbf{A}_{j}\in\alpha,\;
\mid \forall S_i,S_j\in\alpha,\;
S_i\not\subsetS_j \bigr\},
\end{equation}
\end{equation}
其中 <math>\mathcal{P}_{1}(\mathbf{R})=\mathcal{P}(\mathbf{R})\setminus\{\emptyset\}</math>为<math>\mathbf{R}</math>的所有非空子集的集合。
其中 <math>\mathcal{P}_{1}(S)=\mathcal{P}(S)\setminus\{\emptyset\}</math>为<math>S</math>的所有非空子集的集合。
此后，我们将用带括号的索引简记<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，例如：
此后，我们将用带括号的索引简记<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，例如：
<math>\{\{R_{1},R_{2}\}\}</math>记为<math>\{12\}</math>，<math>\{R_{1},\{R_{2}，R_{3}\}\}</math>记为<math>\{1\}\{23\}</math>
<math>\{\{R_{1},R_{2}\}\}</math>记为<math>\{12\}</math>，<math>\{{R_{1}},\{R_{2}，R_{3}\}\}</math>记为<math>\{1\}\{23\}</math>
通过将上述思路进一步延伸，可在<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素上定义一个偏序<math>\preccurlyeq</math>。
通过将上述思路进一步延伸，可在<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素上定义一个偏序<math>\preccurlyeq</math>。
考虑两个源集合 <math>\alpha,\beta\in\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>，若对每个源
考虑两个源集合 <math>\alpha,\beta\in\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>，若对每个源