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==== 局部线性稳定性（雅克比矩阵） ====

==== 局部线性稳定性（雅克比矩阵） ====

<math>

<math>

J=

J=

</math>

</math>

1） <math>C_0(0,0,0)</math>：带入雅克比矩阵，并判断雅克比矩阵特征值实部是否小于0，可得以下结论

1） <math>C_0(0,0,0)</math>：带入[[雅克比矩阵]]，并判断雅克比矩阵特征值实部是否小于0，可得以下结论

* <math>r<1</math>：<math>C_0</math> 稳定

* <math>r<1</math>：<math>C_0</math> 稳定

* <math>r=1</math>：<math>C_0</math> 非双曲平衡点

* <math>r=1</math>：<math>C_0</math> [[非双曲平衡点]]

* <math>r>1</math>：<math>C_0</math> 不稳定

* <math>r>1</math>：<math>C_0</math> 不稳定

* 临界值 <math>r_c=\displaystyle\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：发生 Hopf 分岔

* 临界值 <math>r_c=\displaystyle\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：发生 [[Hopf分岔]]

2） <math> C_+ = \left( \sqrt{b(r-1)},\ \sqrt{b(r-1)},\ r-1 \right)</math>：带入雅克比矩阵，根据“劳思-赫尔维茨稳定判据”，判定根的实部，可得以下结论

2） <math> C_+ = \left( \sqrt{b(r-1)},\ \sqrt{b(r-1)},\ r-1 \right)</math>：带入雅克比矩阵，根据“劳思-赫尔维茨稳定判据”，判定根的实部，可得以下结论

* 当 <math>1 < r < \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：所有特征值实部 < 0，<math>C_+</math> 稳定。

* 当 <math>1 < r < \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：所有特征值实部 < 0，<math>C_+</math> 稳定。

* 当 <math>r = \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：特征值实部 = 0，存在一对纯虚特征值，<math>C_+</math> 发生霍普夫分岔。

* 当 <math>r = \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：特征值实部 = 0，存在一对纯虚特征值，<math>C_+</math> 发生霍普夫分岔。

* 当 <math>r > \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：特征值存在实部 > 0，<math>C_+</math> 不稳定，系统进入混沌。

* 当 <math>r > \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}</math>：特征值存在实部 > 0，<math>C_+</math> 不稳定，系统进入[[混沌]]。

3） <math> C_- = \left( -\sqrt{b(r-1)},\ -\sqrt{b(r-1)},\ r-1 \right)</math>：带入雅克比矩阵，特征方程完全相同。所以<math>C_-</math>与<math>C_+</math> 特征值相同。稳定性性质相同。

3） <math> C_- = \left( -\sqrt{b(r-1)},\ -\sqrt{b(r-1)},\ r-1 \right)</math>：代入雅克比矩阵，[[特征方程]]完全相同。所以<math>C_-</math>与<math>C_+</math> [[特征值]]相同。稳定性性质相同。

==== 全局稳定性 ====

==== 全局稳定性 ====