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洛伦兹方程 (查看源代码)

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=== 方程的数学性质 ===

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1）非线性：含 <math>xz</math>、<math>xy</math> ~~二次非线性项，是混沌的数学根源。xz、xy二次非线性项。是洛伦兹系统产生初值敏感性、非周期性、混沌行为的数学根源；线性系统无混沌行为~~(这是混沌理论的基本定理)

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1）非线性：含 <math>xz</math>、<math>xy</math> 二次非线性项，是混沌的数学根源。<math>xz</math>、<math>xy</math>二次非线性项。是洛伦兹系统产生初值敏感性、非周期性、混沌行为的数学根源；线性系统无混沌行为(这是混沌理论的基本定理)

2）对称性：<math>(x,y,z)\mapsto (-x,-y,z)</math> 对称，系统关于 <math>z</math> 轴对称。洛伦兹混沌吸引子的几何形状关于Z轴对称，取值分布具有对称性，无单侧偏置。

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3）耗散性：散度 <math>\nabla\cdot F=-\sigma-1-b<0</math>，体积严格指数收缩。只要 σ,β>~~0，散度严格负，系统是耗散的：相空间体积随时间收缩，所有轨道最终进入紧不变集。~~

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3）耗散性：散度 <math>\nabla\cdot F=-\sigma-1-b<0</math>，体积严格指数收缩。只要 <math>σ,β>0</math>，散度严格负，系统是耗散的：相空间体积随时间收缩，所有轨道最终进入紧不变集。

4）初值敏感性：在混沌参数区间下，系统的最大李雅普诺夫指数 λ₁>0，相邻轨道的偏差向量随时间渐近指数演化(图1)：

第255行：第255行：

* <math>r<1</math>：[[稳定不动点]]，原点[[全局稳定]]。

* <math>r=1</math>：[[叉形分岔]]，原点通过[[超临界叉式分岔]]而失去稳定性，出现一对对称的吸引不动点

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* <math>r\approx 13.926</math>：[[同宿轨分岔]]，[[环]]到达[[鞍点]]，且变成了[[同宿轨道]]，得到了[[同宿分岔]]。(同宿分岔有很多的动力学结果，但是对它的分析超出了本词条范围。主要结论是在[math]r=13.926[/math]处产生了非常复杂的[[不变集]]，并伴随着[[不稳定极限环]]这个集是一簇无限多个[[鞍环]]和[[非周期轨道]]。它不是[[吸引子]]，也无法直接观察，但在其邻域内产生了对初始条件的敏感依赖。轨迹在这个集合附近游荡，有点像在迷宫里。然后它们杂乱无章地运动一段时间但最终逃离并落在C或C。在[[不变集]]附近游荡的时间随着[math]r[/math]的增加而越来越长。最后，在[math]r=24.06[/math]处，游荡的时间变成无穷，而不变集变为一个[[奇怪吸引子]][Yorke和Yorke(1979)])

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* <math>r\approx 13.926</math>：[[同宿轨分岔]]，[[环]]到达[[鞍点]]，且变成了[[同宿轨道]]，得到了[[同宿分岔]]。(同宿分岔有很多的动力学结果，但是对它的分析超出了本词条范围。主要结论是在[math]r=13.926[/math]处产生了非常复杂的[[不变集]]，并伴随着[[不稳定极限环]]这个集是一簇无限多个[[鞍环]]和[[非周期轨道]]。它不是[[吸引子]]，也无法直接观察，但在其邻域内产生了对初始条件的敏感依赖。轨迹在这个集合附近游荡，有点像在迷宫里。然后它们杂乱无章地运动一段时间但最终逃离并落在<math>C^+</math>或<math>C^-</math> 。在[[不变集]]附近游荡的时间随着[math]r[/math]的增加而越来越长。最后，在[math]r=24.06[/math]处，游荡的时间变成无穷，而不变集变为一个[[奇怪吸引子]][Yorke和Yorke(1979)])

* <math>r\approx 24.74</math>：[[亚临界 Hopf 分岔]]（进入混沌），出现一对[[不稳定极限环]]，

* <math>r>24.74</math>：混沌 + 周期窗口，[[奇怪吸引子]]

郑鸿盛

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