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*在分界曲线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 上，两个特征值合并为重实根 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]，系统处于结点与焦点之间的临界状态，通常对应星形结点或退化结点，其具体相图还取决于雅可比矩阵是否具有两个线性无关的特征向量。由此，抛物线不仅区分了轨迹是否具有旋转行为，也给出了结点与焦点之间的动力学分界，如图Fig.3 所示。

*在分界曲线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 上，两个特征值合并为重实根 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]，系统处于结点与焦点之间的临界状态，通常对应星形结点或退化结点，其具体相图还取决于雅可比矩阵是否具有两个线性无关的特征向量。由此，抛物线不仅区分了轨迹是否具有旋转行为，也给出了结点与焦点之间的动力学分界，如图Fig.3 所示。

[[文件:结点和焦点的相位图.png|替代=|无|缩略图|401x401像素|Fig.3 结点与焦点的典型相图]]

[[文件:结点和焦点的相位图.png|替代=|无|缩略图|621x621px|Fig.3 结点与焦点的典型相图]]

*'''稳定与不稳定的分界：'''在Fig.1 迹—行列式平面 的右半平面，即 [math]\Delta>0[/math] 时，横轴 [math]T=0[/math] 构成稳定系统与不稳定系统之间的分界。这是因为两个特征值实部之和等于矩阵的迹 [math]T[/math]；当特征值为共轭复数时，它们的实部均为 [math]T/2[/math]，因此 [math]T[/math] 的符号直接决定平衡点附近的轨迹是收缩还是发散。

*'''稳定与不稳定的分界：'''在Fig.1 迹—行列式平面 的右半平面，即 [math]\Delta>0[/math] 时，横轴 [math]T=0[/math] 构成稳定系统与不稳定系统之间的分界。这是因为两个特征值实部之和等于矩阵的迹 [math]T[/math]；当特征值为共轭复数时，它们的实部均为 [math]T/2[/math]，因此 [math]T[/math] 的符号直接决定平衡点附近的轨迹是收缩还是发散。

**当当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值的实部均小于零，系统为'''渐近稳定系统'''，对应稳定结点或稳定焦点。轨迹随时间逐渐趋近平衡点：在稳定结点中，轨迹沿特征方向直接汇聚；在稳定焦点中，轨迹则以螺旋方式向内收缩。

**当当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值的实部均小于零，系统为'''渐近稳定系统'''，对应稳定结点或稳定焦点。轨迹随时间逐渐趋近平衡点：在稳定结点中，轨迹沿特征方向直接汇聚；在稳定焦点中，轨迹则以螺旋方式向内收缩。

*'''退化情况：''' 在Fig.1 迹—行列式平面 中，抛物线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 对应两个特征值相等的临界情形，此时 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]。若雅可比矩阵具有两个线性无关的特征向量，则平衡点表现为'''星形结点（Star Node）'''，轨迹沿不同方向直接趋近或远离平衡点；若矩阵只有一个独立特征向量，则形成'''退化结点'''或非正常结点（Improper Node），一般轨迹在接近平衡点时逐渐与唯一的特征方向相切。两类结点的稳定性仍由 [math]T[/math] 的符号决定：当 [math]T<0[/math] 时为稳定结点，当 [math]T>0[/math] 时为不稳定结点。

*'''退化情况：''' 在Fig.1 迹—行列式平面 中，抛物线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 对应两个特征值相等的临界情形，此时 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]。若雅可比矩阵具有两个线性无关的特征向量，则平衡点表现为'''星形结点（Star Node）'''，轨迹沿不同方向直接趋近或远离平衡点；若矩阵只有一个独立特征向量，则形成'''退化结点'''或非正常结点（Improper Node），一般轨迹在接近平衡点时逐渐与唯一的特征方向相切。两类结点的稳定性仍由 [math]T[/math] 的符号决定：当 [math]T<0[/math] 时为稳定结点，当 [math]T>0[/math] 时为不稳定结点。

*<nowiki>纵轴 [math]\Delta=0[/math] 对应至少存在一个零特征值。对于二维齐次线性系统，若雅可比矩阵的秩为 1，其零空间是一条直线，直线上的每一点均满足 [math]\dot{\boldsymbol{x}}=0[/math]，因而构成一条由平衡点组成的</nowiki>'''非孤立平衡点'''集合；其余轨迹则沿非零特征值对应的方向趋近或远离这条平衡点直线。若雅可比矩阵为零矩阵，则整个相平面上的点都是平衡点。需要注意的是，对于一般非线性系统，零特征值只表明平衡点是非双曲的，不能仅根据线性化结果断定一定存在平衡点直线，还需要结合高阶项或中心流形进一步判断。'''星形结点'''、'''退化结点'''和'''非孤立平衡点'''的典型相图如 Fig.5 所示。

*<nowiki>纵轴 [math]\Delta=0[/math] 对应至少存在一个零特征值。对于二维齐次线性系统，若雅可比矩阵的秩为 1，其零空间是一条直线，直线上的每一点均满足 [math]\dot{\boldsymbol{x}}=0[/math]，因而构成一条由平衡点组成的</nowiki>'''非孤立平衡点'''集合；其余轨迹则沿非零特征值对应的方向趋近或远离这条平衡点直线。若雅可比矩阵为零矩阵，则整个相平面上的点都是平衡点。需要注意的是，对于一般非线性系统，零特征值只表明平衡点是非双曲的，不能仅根据线性化结果断定一定存在平衡点直线，还需要结合高阶项或中心流形进一步判断。'''星形结点'''、'''退化结点'''和'''非孤立平衡点'''的典型相图如 Fig.5 所示。

[[文件:Fig5 退化情况.png|无|缩略图|844x844像素|Fig.5 退化情况: 星形结点、退化结点和非孤立平衡点]]

[[文件:Fig5 退化情况.png|无|缩略图|1159x1159px|Fig.5 退化情况: 星形结点、退化结点和非孤立平衡点]]

==经典实例：二维谐振子系统<ref name=":4" />==

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