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→稳态分布下的随机动力学划分
==稳态分布下的随机动力学划分==
==稳态分布下的随机动力学划分==
[[随机动力学]]为我们提供了另一个视角来讨论[[马尔科夫链]]的 '''状态划分'''，这一状态划分是以'''状态分布'''为基础的。
当我们观察马尔科夫链的一个具体样本时，其在每一步都处于某个'''确定状态'''。而所谓状态分布，是指给定初始分布 <math>\mu</math> 后，系统在 <math>t</math> 时刻落在各个状态的概率。若存在分布 <math>\pi</math> 满足 <math>\pi P = \pi</math>，则称其为'''稳态分布'''。所以，当系统在到达稳态后，再继续演化，整体分布会保持不变。
当我们观察马尔科夫链的一个具体样本时，其在每一步都处于某个'''确定状态'''。而所谓状态分布，是指给定初始分布 <math>\mu</math> 后，系统在 <math>t</math> 时刻落在各个状态的概率。若存在分布 <math>\pi</math> 满足 <math>\pi P = \pi</math>，则称[math]\pi[/math]为'''稳态分布'''。所以，当系统在到达稳态后，再继续演化，整体分布会保持不变。
我们可以把马尔科夫链放进'''随机动力系统（Random Dynamical System）'''的框架中来理解（详细的数学公式和证明可参考[[马尔科夫链中的随机动力学]]）。在这个框架里，'''不变性（Invariance）'''是理解稳态分布的关键。稳态分布描述的是'''分布层面'''的不变，而随机吸引子描述的则是'''状态集合层面'''的不变。一个状态集合若要成为随机吸引子，通常需要满足三点：
我们可以把马尔科夫链放进'''[[随机动力系统]]（Random Dynamical System）'''的框架中来理解（详细的数学公式和证明可参考[[马尔科夫链中的随机动力学]]）。在这个框架里，'''不变性（Invariance）'''是理解稳态分布的关键。稳态分布描述的是'''分布层面'''的不变，而[[随机吸引子]]描述的则是'''状态集合层面'''的不变。一个状态集合若要成为随机吸引子，通常需要满足三点：
# '''紧致性 (Compactness)'''：对有限状态马尔科夫链，这一点天然满足；
# '''紧致性 (Compactness)'''：对有限状态马尔科夫链，这一点天然满足；
===随机吸引子和对应分组===
===随机吸引子和对应分组===
在稳态或长时间视角下，随机吸引子给出的不是任意聚类，而是一种按照'''长期命运'''进行的自然划分：会进入同一个闭合常返类的状态、处在同一个周期相位中的状态，或者只承担过渡作用的滑过态，应该被区别对待。若这些集合被分作不同的宏观态，我们就可以尝试构造宏观转移矩阵。
在稳态或长时间视角下，随机吸引子给出的不是任意聚类，而是一种按照'''长期命运'''进行的自然划分：会进入同一个[[闭合常返类]]的状态、处在同一个周期相位中的状态，或者只承担过渡作用的[[滑过态]]，应该被区别对待。若这些集合被分作不同的宏观态，我们就可以尝试构造宏观转移矩阵。
在稳态视角下，马尔科夫链常见有三种情形：
在稳态视角下，马尔科夫链常见有三种情形：
* '''不可约、非周期'''：整个状态空间形成唯一的平凡吸引子 <math>A(\omega)=X</math>。这说明系统的长期活动遍及整个空间，因此随机动力学本身并不给出更细的自然分组。比如<math>
* '''不可约、非周期'''：整个状态空间形成唯一的平凡吸引子 <math>A(\omega)=X</math>。这说明系统的长期活动遍及整个空间，因此随机动力学本身并不给出更细的自然分组。比如
<math>
P=\begin{pmatrix}
P=\begin{pmatrix}
1/2&1/2&0\\
1/2&1/2&0\\
0&1/2&1/2
0&1/2&1/2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>，这个链不可约且有自环，所以是非周期的。随机吸引子是全集 <math>X=\{1,2,3\}</math>。若按吸引子粗粒化，只有一个宏观态 <math>A=X</math>，对应的宏观转移矩阵为 <math>P'=(1)</math>。这是一种平凡粗粒化，说明不可约非周期链本身没有由吸引子诱导出的非平凡分组。
</math>，
* '''可约'''：设 <math>S=T \cup R_1 \cup \cdots \cup R_m</math>，其中 <math>T</math> 是滑过态集，<math>R_i</math> 是闭合常返类。此时每个 <math>R_i</math> 都对应一个确定性的吸引子 <math>A_i=R_i</math>。系统一旦进入某个闭合常返类，就不会再离开。比如 <math>
这个链不可约且有自环，所以是非周期的。随机吸引子是全集 <math>X=\{1,2,3\}</math>。若按吸引子粗粒化，只有一个宏观态 <math>A=X</math>，对应的宏观转移矩阵为 <math>P'=(1)</math>。这是一种平凡粗粒化，说明不可约非周期链本身没有由吸引子诱导出的非平凡分组。
* '''可约'''：设 <math>S=T \cup R_1 \cup \cdots \cup R_m</math>，其中 <math>T</math> 是滑过态集，<math>R_i</math> 是闭合常返类。此时每个 <math>R_i</math> 都对应一个确定性的吸引子 <math>A_i=R_i</math>。系统一旦进入某个闭合常返类，就不会再离开。比如
<math>
P=\begin{pmatrix}
P=\begin{pmatrix}
1/3&1/3&1/3&0&0\\
1/3&1/3&1/3&0&0\\
0.6&0&0&0.4&0
0.6&0&0&0.4&0
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>，其中 <math>R_1=\{1,2,3\}</math> 和 <math>R_2=\{4\}</math> 是两个闭合常返类，<math>T=\{5\}</math> 是滑过态。若为了描述过渡阶段而保留滑过态，按 <math>\{T,R_1,R_2\}</math> 的顺序粗粒化，可以得到 <math>
</math>，
其中 <math>R_1=\{1,2,3\}</math> 和 <math>R_2=\{4\}</math> 是两个闭合常返类，<math>T=\{5\}</math> 是滑过态。若为了描述过渡阶段而保留滑过态，按 <math>\{T,R_1,R_2\}</math> 的顺序粗粒化，可以得到
<math>
P'=\begin{pmatrix}
P'=\begin{pmatrix}
0&0.6&0.4\\
0&0.6&0.4\\
0&0&1
0&0&1
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>。这个例子中，宏观态 <math>R_1</math> 和 <math>R_2</math> 都是吸引子：一旦进入就出不去；滑过态 <math>T</math> 只描述进入吸引子之前的过渡。若只看稳态分布，<math>T</math> 的概率质量最终为 0，系统只会停留在某个闭合常返类内；此时稳态流归一化只能在具有正稳态质量的闭合常返类上定义，例如在 <math>\{R_1,R_2\}</math> 上得到吸收型宏观动力学。
</math>。
这个例子中，宏观态 <math>R_1</math> 和 <math>R_2</math> 都是吸引子：一旦进入就出不去；滑过态 <math>T</math> 只描述进入吸引子之前的过渡。若只看稳态分布，<math>T</math> 的概率质量最终为 0，系统只会停留在某个闭合常返类内；此时稳态流归一化只能在具有正稳态质量的闭合常返类上定义，例如在 <math>\{R_1,R_2\}</math> 上得到吸收型宏观动力学。
* '''不可约、周期为 <math>d>1</math>'''：状态空间可分解为 <math>X=C_0 \cup C_1 \cup \cdots \cup C_{d-1}</math>，并按 <math>C_0 \to C_1 \to \cdots \to C_{d-1} \to C_0</math> 循环。此时吸引子不再是固定不动的闭合集合，而是随时间在周期子类之间切换的非平凡随机吸引子。比如
<math>
P=\begin{pmatrix}
P=\begin{pmatrix}
0&0&1/2&1/2\\
0&0&1/2&1/2\\
1/2&1/2&0&0
1/2&1/2&0&0
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math> ，该链不可约，但周期为 2。状态空间可分为 <math>C_0=\{1,2\}</math> 和 <math>C_1=\{3,4\}</math>，系统每一步都在两个周期类之间来回跳转。按 <math>\{C_0,C_1\}</math> 粗粒化后，宏观转移矩阵为 <math>
</math> ，
该链不可约，但周期为 2。状态空间可分为 <math>C_0=\{1,2\}</math> 和 <math>C_1=\{3,4\}</math>，系统每一步都在两个周期类之间来回跳转。按 <math>\{C_0,C_1\}</math> 粗粒化后，宏观转移矩阵为
<math>
P'=\begin{pmatrix}
P'=\begin{pmatrix}
0&1\\
0&1\\
1&0
1&0
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>。因此，周期情形下的“吸引子分组”不是“进入某个吸引子后永远停在里面”，而是保留系统的周期相位：从一个周期类必然转到下一个周期类。若只看稳态分布，两个周期类的总概率可以保持不变；但从单条轨道看，宏观态仍然会周期性跳转。
</math>。
因此，周期情形下的“吸引子分组”不是“进入某个吸引子后永远停在里面”，而是保留系统的周期相位：从一个周期类必然转到下一个周期类。若只看稳态分布，两个周期类的总概率可以保持不变；但从单条轨道看，宏观态仍然会周期性跳转。
所以，常返类、周期类和滑过态之间的边界提供了一种值得考虑的粗粒化基准，按照此边界分组可以把'''长期命运相同的状态'''显式区分出来。
所以，常返类、周期类和滑过态之间的边界提供了一种值得考虑的粗粒化基准，按照此边界分组可以把'''长期命运相同的状态'''显式区分出来。