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== 总览：两个定理各说了什么 ==

== 总览：两个定理各说了什么 ==

'''Kleene 递归定理'''是关于'''自指（self-reference，即一个系统"谈论"自身）'''与'''不动点（fixed point，即变换后保持不变的点）'''的两个基本定理的合称。先用日常语言各说一遍，再给出精确表述。

'''Kleene 递归定理'''是关于'''自指（self-reference，即一个系统"谈论"自身）'''[[不动点]]（fixed point，即变换后保持不变的点）两个基本定理的合称。先用日常语言各说一遍，再给出精确表述。

'''第二递归定理（日常语言版）'''：''对任何可计算的全函数 f（一个对任何输入都停机的"程序变换"），总存在一个源程序 c，使得执行 c 的效果，等同于执行 f(c)——即 f 拿着 c 自己的源代码算出来的那个程序。'' 用符号写就是：<math>\phi_c = \phi_{f(c)}</math>。<ref name="rogers1967" />

'''第二递归定理（日常语言版）'''：''对任何可计算的全函数 <math>f</math>（一个对任何输入都停机的"程序变换"），总存在一个源程序 <math>c</math>，使得执行 <math>c</math> 的效果，等同于执行 <math>f(c)</math>——即 <math>f</math> 拿着 <math>c</math> 自己的源代码算出来的那个程序。'' 用符号写就是：<math>\phi_c = \phi_{f(c)}</math>。<ref name="rogers1967" />

'''第一递归定理（日常语言版）'''：''任何递归定义——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 fac(n) = n<math>\cdotfac(n−1)</math>）——都必然有解，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。'' 换句话说，'''机械式的递归定义永远合法、永远有解'''。<ref name="rogers1967" />

'''第一递归定理（日常语言版）'''：''任何递归定义——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 <math>fac(n) = n\cdot fac(n−1)</math>）——都必然有解，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。'' 换句话说，'''机械式的递归定义永远合法、永远有解'''。<ref name="rogers1967" />

两个定理的对照表（其中涉及的符号会在第二节逐一解释，此处可先跳过细节）：

两个定理的对照表（其中涉及的符号会在第二节逐一解释，此处可先跳过细节）：