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→通用序数记号系统与\omega_1^{CK}
问题来了：同一序数 <math>\alpha</math> 在系统中有'''无穷多个代号'''，用不同代号构造出的 <math>H_\alpha</math> 会不会不同？
问题来了：同一序数 <math>\alpha</math> 在系统中有'''无穷多个代号'''，用不同代号构造出的 <math>H_\alpha</math> 会不会不同？
[[文件:Kleene记号系统O.png|缩略图|方法]]
[[文件:Kleene记号系统O.png|缩略图|'''图5'''：[[Kleene's O|Kleene 记号系统 O]] 的树状结构示意。每个自然数都是某个序数的代号——规则：|1| = 0（最底层）；|2^x| = |x| + 1（后继，沿着"2 的幂"链向上）；|3<math>\cdot5^e</math>| = li<math>m_n</math> |<math>\phi_e(n)</math>|（'''极限'''——'''记号里携带基本序列程序的编号 e，这正是 SRT 大显身手的地方'''）。所有构造序数都在这棵树上生长；树顶是 <math>\omega_1^CK</math>（无法被任何机械记号触及的边界）。]]
'''图5'''：[[Kleene's O|Kleene 记号系统 O]] 的树状结构示意。每个自然数都是某个序数的代号——规则：|1| = 0（最底层）；|2^x| = |x| + 1（后继，沿着"2 的幂"链向上）；|3<math>\cdot5^e</math>| = li<math>m_n</math> |<math>\phi_e(n)</math>|（'''极限'''——'''记号里携带基本序列程序的编号 e，这正是 SRT 大显身手的地方'''）。所有构造序数都在这棵树上生长；树顶是 <math>\omega_1^CK</math>（无法被任何机械记号触及的边界）。
Kiselyov 以现代眼光补充了这段历史的思想动机：Kleene 放弃用 <math>\lambda</math> 项（他与 Church 两年前的方案）做序数代号，正是因为 <math>\lambda</math> 项作为'''函数'''无法被机械地比较大小；极限序数的代号必须携带'''程序的编号'''而非函数本身——"只有编号（有穷对象）才能被直接给出，这是有穷主义立场的要求"<ref name="kleene1938" /><ref name="kiselyov" />。
Kiselyov 以现代眼光补充了这段历史的思想动机：Kleene 放弃用 <math>\lambda</math> 项（他与 Church 两年前的方案）做序数代号，正是因为 <math>\lambda</math> 项作为'''函数'''无法被机械地比较大小；极限序数的代号必须携带'''程序的编号'''而非函数本身——"只有编号（有穷对象）才能被直接给出，这是有穷主义立场的要求"<ref name="kleene1938" /><ref name="kiselyov" />。