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→通用序数记号系统与\omega_1^{CK}
: <math>\psi(x) = 2^\psi(P(x))</math> （<math>x</math> 是后继序数的代号时，<math>P(x)</math> 是前驱代号）
: <math>\psi(x) = 2^\psi(P(x))</math> （<math>x</math> 是后继序数的代号时，<math>P(x)</math> 是前驱代号）
: <math>\psi(x) = 3\cdot5^e</math> （<math>x</math> 是极限序数的代号时，<math>e</math> 是"逐点翻译基本序列"那个程序的编号）
: <math>\psi(x) = 3\cdot5^e</math> （<math>x</math> 是极限序数的代号时，<math>e</math> 是"逐点翻译基本序列"那个程序的编号）
[[文件:Kleene记号系统O.png|缩略图|'''图5'''：[[Kleene's O|Kleene 记号系统 O]] 的树状结构示意。每个自然数都是某个序数的代号——规则：<math>\mid 1\mid = 0</math>（最底层）；<math>\mid 2^x\mid = \mid x\mid + 1</math>（后继，沿着"2 的幂"链向上）；<math>\mid 3\cdot5^e\mid = lim_n\mid\phi_e(n)\mid</math>（'''极限'''——'''记号里携带基本序列程序的编号 e，这正是 SRT 大显身手的地方'''）。所有构造序数都在这棵树上生长；树顶是 <math>\omega_1^CK</math>（无法被任何机械记号触及的边界）。]]
第三行的 <math>e</math> 值得拆开细看——'''<math>\psi</math> 的定义需要用到 <math>\psi</math>，循环正藏在 e 的代码里'''。设 <math>\lambda</math> 是 <math>S</math> 能命名的某个极限序数（就是上文说的那种"既非 0 也非后继、只能被逼近"的序数，例如 <math>\omega</math>），<math>x</math> 是它在 <math>S</math> 中的代号；<math>S</math> 是合法记号系统，故 <math>x</math> 自带一条可计算的基本序列 <math>x_0,x_1,x_2,\ldots</math>——一列递增的代号，所指序数逐渐逼近 <math>\lambda</math>。按上面交代的语法，极限序数的代号必须写成 <math>3\cdot 5^e</math> 的形态，所以 <math>\psi(x)</math> 必须形如 <math>3\cdot5^e</math>，其中 <math>e</math> 是这样一个程序的编号：
第三行的 <math>e</math> 值得拆开细看——'''<math>\psi</math> 的定义需要用到 <math>\psi</math>，循环正藏在 e 的代码里'''。设 <math>\lambda</math> 是 <math>S</math> 能命名的某个极限序数（就是上文说的那种"既非 0 也非后继、只能被逼近"的序数，例如 <math>\omega</math>），<math>x</math> 是它在 <math>S</math> 中的代号；<math>S</math> 是合法记号系统，故 <math>x</math> 自带一条可计算的基本序列 <math>x_0,x_1,x_2,\ldots</math>——一列递增的代号，所指序数逐渐逼近 <math>\lambda</math>。按上面交代的语法，极限序数的代号必须写成 <math>3\cdot 5^e</math> 的形态，所以 <math>\psi(x)</math> 必须形如 <math>3\cdot5^e</math>，其中 <math>e</math> 是这样一个程序的编号：
问题来了：同一序数 <math>\alpha</math> 在系统中有'''无穷多个代号'''，用不同代号构造出的 <math>H_\alpha</math> 会不会不同？
问题来了：同一序数 <math>\alpha</math> 在系统中有'''无穷多个代号'''，用不同代号构造出的 <math>H_\alpha</math> 会不会不同？
Kiselyov 以现代眼光补充了这段历史的思想动机：Kleene 放弃用 <math>\lambda</math> 项（他与 Church 两年前的方案）做序数代号，正是因为 <math>\lambda</math> 项作为'''函数'''无法被机械地比较大小；极限序数的代号必须携带'''程序的编号'''而非函数本身——"只有编号（有穷对象）才能被直接给出，这是有穷主义立场的要求"<ref name="kleene1938" /><ref name="kiselyov" />。
Kiselyov 以现代眼光补充了这段历史的思想动机：Kleene 放弃用 <math>\lambda</math> 项（他与 Church 两年前的方案）做序数代号，正是因为 <math>\lambda</math> 项作为'''函数'''无法被机械地比较大小；极限序数的代号必须携带'''程序的编号'''而非函数本身——"只有编号（有穷对象）才能被直接给出，这是有穷主义立场的要求"<ref name="kleene1938" /><ref name="kiselyov" />。