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推广到 <math>k</math> 元：对任意 <math>k</math> 个全可计算函数 <math>g_1</math>, <math>\ldots</math>, <math>g_k</math>，存在 <math>k</math> 个程序 <math>m_1</math>, <math>\ldots</math>, <math>m_k</math> 使得 <math>\phi_{m_i}(x) = g_i(\langle m_1, \ldots, m_k\rangle, x)</math>。

推广到 <math>k</math> 元：对任意 <math>k</math> 个全可计算函数 <math>g_1</math>, <math>\ldots</math>, <math>g_k</math>，存在 <math>k</math> 个程序 <math>m_1</math>, <math>\ldots</math>, <math>m_k</math> 使得 <math>\phi_{m_i}(x) = g_i(\langle m_1, \ldots, m_k\rangle, x)</math>。

[[#Smullyan 双递归定理（1959, 1961）|双递归定理]]是后续许多重要构造的核心：① [[#超算术层级与 Spector 唯一性定理|§5.8.3]] 介绍的"两层超算术构造"里，[[克利福德·斯佩克特|Spector]] 定理需要同时构造两个互相缠绕的函数；② [[Myhill-Shepherdson 定理]]（[[#有效运算的连续性：Myhill–Shepherdson 与 KLS–Čeĭnin 定理|§5.8.6]] 简述）描述"如何用 r.e. 集作为其它 r.e. 集的有效操作"时也需要联立不动点；③ 某些停机问题的"相对化"证明也走双递归路线<ref name="smullyan1961">'''Smullyan, R. M. (1961).''' ''Theory of Formal Systems''. Princeton University Press.【双递归定理的提出者；§[[Smullyan 双递归定理（1959, 1961）|5.2.1]]】</ref><ref name="rogers1967" />.

[[#Smullyan 双递归定理（1959, 1961）|双递归定理]]是后续许多重要构造的核心：① [[#超算术层级与 Spector 唯一性定理|§5.8.3]] 介绍的"两层超算术构造"里，[[克利福德·斯佩克特|Spector]] 定理需要同时构造两个互相缠绕的函数；② [[Myhill-Shepherdson 定理]]（[[#有效运算的连续性：Myhill–Shepherdson 与 KLS–Čeĭnin 定理|§5.8.6]] 简述）描述"如何用 r.e. 集作为其它 r.e. 集的有效操作"时也需要联立不动点；③ 某些停机问题的"相对化"证明也走双递归路线<ref name="smullyan1961">'''Smullyan, R. M. (1961).''' ''Theory of Formal Systems''. Princeton University Press.【双递归定理的提出者；§[[#Smullyan 双递归定理（1959, 1961）|5.2.1]]】</ref><ref name="rogers1967" />.

==== Rogers 同构定理（1958） ====

==== Rogers 同构定理（1958） ====